一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
一般式：1：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函
數。頂點座標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
2：頂點式：y=a(x-h）^2+k或y=a(x+m)^2+k(兩個式子實質一樣,
但初中課本上都是第一個式子)
3：交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數，y是x的二次函式
x1,x2=[-b±根號下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式）
求根的方法還有十字相乘法和配方法
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，座標為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時
（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式（一次函式）的
斜率k的值。可透過對二次函式求導得到。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x=-b±√b^2－4ac的值的相反數，乘上
虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函式在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函式，在
{x|x>-b/2a}上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①當x=１時y=a+b+c
②當x=-1時y=a-b+c
④當x=-2時y=4a-2b+c
8.定義域：R
正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：偶函式
週期性：無
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)^2+k[頂點式]
此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
對稱軸X=(X1+X2)/2當a>0且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦（X1+X2）/2時Y隨X
的增大而減小
此時，x1、x2即為函式與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
用）。
特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1．二次函式y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點座標
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b^2/4a)
對稱軸
x=0
x=h
x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2-k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x+h)²+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；在向上或向下.向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，透過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2;+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?|另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A|（A為其中一點的橫座標）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值．
6．用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函式知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
一般式：1：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函
數。頂點座標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
2：頂點式：y=a(x-h）^2+k或y=a(x+m)^2+k(兩個式子實質一樣,
但初中課本上都是第一個式子)
3：交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數，y是x的二次函式
x1,x2=[-b±根號下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式）
求根的方法還有十字相乘法和配方法
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，座標為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時
（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式（一次函式）的
斜率k的值。可透過對二次函式求導得到。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x=-b±√b^2－4ac的值的相反數，乘上
虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函式在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函式，在
{x|x>-b/2a}上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①當x=１時y=a+b+c
②當x=-1時y=a-b+c
④當x=-2時y=4a-2b+c
8.定義域：R
正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：偶函式
週期性：無
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)^2+k[頂點式]
此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
對稱軸X=(X1+X2)/2當a>0且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦（X1+X2）/2時Y隨X
的增大而減小
此時，x1、x2即為函式與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
用）。
[編輯本段]二次函式與一元二次方程特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1．二次函式y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點座標
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b^2/4a)
對稱軸
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2-k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x+h)²+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；在向上或向下.向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，透過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2;+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點座標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?|另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A|（A為其中一點的橫座標）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值．
6．用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函式知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．