怎麼求函式y=x^2、x軸、x=1所圍成的面積？在沒有發明微積分這門學科和方法之前，這樣非常“簡單”的問題也是幾乎不可解決的，而有了微積分之後，如今的高中生也可以輕易解答這個幾百年前的這種高深數學問題。那為什麼要發明和使用微積分呢？原因很直接，迫於數學內外各種問題解決的需要。微積分之前，數學的發展幾乎停留在對“有限”的認識上，然而諸多實際問題必然涉及“無限”，那麼一門關於“無限”的學問便也呼之欲出了。

微積分是緊接著函式概念的採用而產生的，其創立首先是為了處理17世紀主要的幾類數學物理問題:1.已知物體的位移-時間函式，求其在任意時刻的速度與加速度；反過來，已知物體的加速度-時間函式，求速度與位移。2.求曲線的切線。3.求函式的最大值與最小值。4.求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心位置、物體（比如行星）作用於另一物體上的引力等。沒有微積分之前，解決這些問題的方法都是複雜而不具普遍性的，這極大地阻礙了科學的發展。

古希臘人用窮竭法計算出了一些面積和體積，但是需要很多技巧，嚴重缺乏一般性。而微積分創立則徹底改變了這一局面，不僅是數學本身，相關的物理，工程等科學領域也發生了巨大變革。複雜的計算變得簡單，含糊不清的關係變得簡單清晰，對宇宙的認識更上一層樓，甚至對哲學的看法也因微積分的產生被改變了不少。微積分的產生與使用徹底改變了人類科學的面貌，可謂整個人類歷史上最偉大的發明創造之一。

問題解決的需要

微積分其實並不是刻意發明和使用的,它分為微分和積分兩個重要部分,統稱微積分,它的出現是科學發展的必然結果,特別是在一些無法解決的問題面前,新的數學工具和思想便應運而生.

當時無法解決的問題:

1.物體運動的路程與時間的關係,物體在任意時刻的速度與加速度等;

2.曲線的切線問題.

3.函式的最值問題,彈道射程問題,行星和太陽的近日點和遠日點問題;

4.求積問題,曲線長、曲線所圍面積和體積問題.

在沒有解決這些問題之前,數學的研究都停留在有限量的研究上,而原來的思想無法解決以上問題,無限思想的引入為數學提供了源源不斷的活力.

如下圖所示,物理學家們開始從路程相對時間的變化率(也即速度)開始研究.當兩個點A、B無限靠近時,這個變化率相當於過這點的切線的斜率.還記得嗎?高中的導數就是這麼開始學習的.

這個變化率是與曲線本身有莫大的關係,為了表示這個變化率,用下圖這個式子表達,同時,透過大量計算得出了一些常見函式的導數結果,也就是我們現在高中生所學習的求導法則.這就是微分(導數).

同理,為了解決曲邊圖形的面積問題,如下所示,有限思想下是無法解決的,因為並沒有面積分式等;要解決些問題還是應用無限思想,將這些小矩形面積之和來估計面積.當無限分割時,小矩形面積之和就等於曲邊圖形面積.請看下方推導過程.

微積分的發明者牛頓和萊不尼茲,兩人在思想上是一樣的.不可否認的是,微積分的發明,不只在數學上意義重大,從之前的有限到無限的跨越.另外在物理或者其他學科的進步也是巨大的,劃時代的,成為現代數學和物理的基礎.

為什麼要發明微積分，個人覺得這是人類社會發展的一個必然把。隨著人類對自然的探索，原有基本的知識滿足不了現有的需求時，聰明的人類就會想出各種辦法來解決目前所遇到的問題，正所謂辦法總比困難多，而微積分正是人類探索自然的智慧結晶。下面說說微積分相關的知識吧。

都知道，大學裡面理工科有一門必修課程叫高等數學，經濟管理類有一門必修課叫微積分，這兩門課都是以微積分為基礎的課程。具體什麼叫微積分呢？也就是用極限的思想把某個事物分成無限小，透過求出每個劃分無限小的面積、體積等等，此過程中微分，然後將無限小的個體累積加起來，達到我們所需求的東西，此過程叫積分，簡單一點就是一個不能直接知道的東西將其無限劃分各小物體，然後透過相關已知公式表達出我們所需求的量，然後在把所有小物體累加起來。

微積分思想在中國典型的應用莫過於圓周率的求解π=3.14159265358979323846264338327950288.人們最開始對於面面積這個量沒有可直接利用的公式，只有三角形、矩形等基本計算公式，聰明的古代人就把圓劃分成若干個小扇形，如果劃分的量足夠小，就能夠將小扇形近似看成三角形，採用三角形的公式計算每個小扇形的面積，然後累計加起來。

數學是所有自然科學科目的基礎，在工科、理科、物理、化學、航天、機械等等領悟都是最基礎的知識，例如基本的就曲面面積、曲線長度、曲面體積等等。

答：微積分是順應數學的發展，經過很多數學家積累並總結起來的一套數學運算系統，目的是為了解決科學模型中的變數求解問題。

微積分作為初等數學和高等數學的分水嶺，在現代科學中有著極其重要的作用，微積分的發明也絕對堪稱人類智慧的結晶。

在17世紀以前，很多數學家已經開始萌發了微積分的思想；比如中國古代數學家祖沖之利用割圓術求圓周率，阿基米德的微元法求體積、希臘數學家的極限思想等等。

隨著物理學方面的發展，很多物理問題的研究遇到了困難，比如：行星橢圓軌道的推導過程、最速降曲線問題、 曲線的切線問題、函式極值問題、複雜球體的體積問題等等。

這時候科學家們對以上問題的解決，有著非常迫切的需求，期間很多數學家對微積分的誕生做了鋪墊，比如笛卡爾發明座標系、費馬、開普勒、伽利略、哈雷等人也有貢獻。

最終在17世紀末，英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲，分別獨立地發明了微積分，兩者對微積分的切入點不一樣，但是本質思想是一致的。

微積分的誕生，對以上科學問題，簡直猶如天助，輕輕鬆鬆就能解決很多以前解決不了的問題；雖然微積分在創立之初遭遇到很多難題，但都被後來的數學家們完善。

微積分的基本思想是求極限，函式角度看就是求切線和麵積，又可分為積分和微分兩大類，兩者互為逆運算。

比如下圖：對於一個函式f（x），在定義域[a，b]內，函式影象和橫座標圍成一個陰影面積，如果要求陰影面積的大小，只用初等數學知識是很難的，但使用微積分就變得非常簡單。

微積分有一套嚴格的微分和積分法則，比如該函式表示式為f（x）=x^3，a=2，b=5，那麼可以很快求出陰影部分的面積：

微積分是人們在解決數學問題中找到的一種方法，並由幾代數學家逐步完善而形成的數學方法，不存在要不要發明這樣的說法………

牛頓發明微積分是為了解決力學和天文學問題，萊布尼茨發明微積分是為了解決曲線切線問題。

有很多連續函式問題要用無窮小和極限方法來解決。

微積分技術性或者藝術性很強，有很多公式方便計算和推導。後來 數學家建立了完善理論證明基礎和用抽象符號描述。

都是被逼的呀。

為什麼要發明乘法？因為加法算得太慢，寫得太長，被逼無奈發明了乘法。

為什麼要發明極限？因為數字無窮多，我們又想有確定解，被逼得，我們發明了極限。

為什麼要發明和使用微積分？因為天上飛了一堆星球，每個星球之間的運動相互之間有影響，關係太複雜，計算太慢，又沒計算機幫忙，必須發一種算得快的方法呀。

數學方法的每一次進步和革命，都是被逼的呀！

需求決定市場，有需求才會有市場，有市場才會有方法的發明和創造！

微積分是現代科學的基礎工具，絕大部分物理化學工程技術的規律都是透過微分方程來表達。

至於牛頓為什麼發明導數（微分），主要是定義速度和加速度的需要，牛頓第二定律推翻了人的直覺：一個物件，推力越大速度當然越快，但牛頓說是加速度變大的原因。有了加速度要算速度和位移，那就是積分了。

至於萊布尼茨更多是數學和哲學上的考慮。古典幾何只能處理規則圖形的長度面積和體積。但現實世界粒子軌跡是豐富多樣的，區域（如一塊田）的邊界也奇奇怪怪，三維物體的形狀更是豐富多姿。而微積分就提供了研究和解決這些問題的基本也是最有力工具。

還有一點需要強調的是：微積分是普適工具，遠比中學數學易學，因為它摒棄了中學數學專注特例所需的高超技巧，而著重思想和概念。這也是所有理工科，文理科開高等數學的原因，因為高數既必要又不難學。

因為這是社會科學與生產力發展的必然

數學是一切科學技術的基礎

正是科技進步推動了生產力發展

為了進一步發展生產力必然要大力探究數學

而微積分正是為了解決在社會生產力發展到一定程度時出現的難題

我的看法：

重大科學基礎理論的發明和創造，很多並不是由於實踐需求推動的，而是由於一些天才人物的強烈的好奇心，沒有任何功利目的，橫空出世，創造出來。

翻看歷史，可以得知，微積分這種數學工具，就是這樣一種天才的創立。

其後，它被廣泛地應用於科學技術的各個領域，極大地推動了人類社會的進步。

順便說一下，微積分的首創權，歷史上一直存在爭議。有人認為是英國的牛頓，有人認為是德國的萊布尼茲。很有可能它是兩位天才各自獨立研究的成果。

數學源於生活，服務於生活，它又高於生活。牛頓、萊布尼茨發明微積分是基於現實問題而發明微積分的。

怎樣精確計算受勻重力作用的物體的速度與下落的高度？用簡單的加、減、乘、除運演算法則不能解決上述問題。對牛頓而言，他是先發現F=m a定律還是先發明微積分，我們不得而知。個人猜猜，牛頓應該是先有F=m a定律的。有了這個定律，透過實驗，可測得某個物體由靜止狀態下落的高度與所花的時間。基於瞬時間段內物體下落的高度可用該物體某時刻的速度乘以這個瞬時間計算考慮，勻分所花時間，依據V=at，ds=at .dt s=ds1+ds2+…。如果將時間分得越細（勻分的份數越多），推測計算出來的值越接近實驗值。反過來，可計算假定時間內靜止問題從高處下落的高度。透過實驗由可驗證這個測算的高度。……

牛頓、萊布尼茨發明微積分，他們有這樣的思考嗎？

非勻速直線運動可用“微積分”計算，其它變速變化問題是不是也可以用“微積分”計算？可能是基於這種考慮，牛頓發明了微積分。

為什麼要發明微積分？發明微積分是基於解決現實問題而發明的。

數學高於生活。發明了微積分，可脫離現實問題，純粹從數學的角度考慮，豐富微積分的內容。

數學服務於生活——微積分的運用。有了微積分，可用特定的微積分模型去分析現實中的問題。依據現實中的微變也可發現現實中的微積分模型。