∫(sinx)^4dx的不定積分為3/8*x-1/4cosx*(sinx)^3+3/8*sinx*cosx+C。

解：∫(sinx)^4dx

=∫(sinx)^3*sinxdx

=-∫(sinx)^3*dcosx

=-cosx*(sinx)^3+∫cosxd(sinx)^3

=-cosx*(sinx)^3+3∫cosx*cosx*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(cosx)^2*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(1-(sinx)^2)*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx-3∫(sinx)^4dx

則，4∫(sinx)^4dx=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2∫(1-cos2x)dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/2∫cos2xdx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/4*sin2x+C

=3/2*x-cosx*(sinx)^3+3/2*sinx*cosx+C

得，∫(sinx)^4dx=3/8*x-1/4cosx*(sinx)^3+3/8*sinx*cosx+C

擴充套件資料：

1、分部積分法是微積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。

2、分部積分法的公式為：∫u（x）v"（x）dx=∫u（x）dv（x）=u（x）*v（x）-∫v（x）du（x）

3、分部積分中常見形式

（1）求含有e^x的函式的積分

∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx

（2）求含有三角函式的函式的積分

∫x*cosxdx=∫x*d(sinx)=x*sinx-∫sinxdx

（3）求含有arctanx的函式的積分

∫x*arctanxdx=1/2∫arctanxd(x^2)=1/2(x^2)*arctanx-1/2∫(x^2)d(arctanx)