對勾函式是一種類似於反比例函式的一般函式。所謂的對勾函式，是形如f(x)=ax+b/x的函式，是一種教材上沒有但考試老喜歡考的函式，所以更加要注意和學習。一般的函式影象形似兩個中心對稱的對勾，故名。當x>0時，f(x)=ax+b/x有最小值（這裡為了研究方便，規定a>0，b>0），也就是當x=sqrt(b/a)的時候（sqrt表示求二次方根）。同時它是奇函式，就可以推匯出x<0時的性質。令k=sqrt(b/a)，那麼，增區間：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；減區間：{x|-k≤x<0}∪{x|0<x≤k}。由單調區間可見，它的變化趨勢是：在y軸左邊，增減，在y軸右邊，減增，是兩個勾。 對勾函式性質的研究離不開均值不等式。說到均值不等式，其實也是根據二次函式得來的。我們都知道，(a-b)2≥0，展開就是a2-2ab+b2≥0，有a2+b2≥2ab，兩邊同時加上2ab，整理得到(a+b)2≥4ab，同時開根號，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab)。現在把ax+b/x套用這個公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)＝2sqrt(ab)，這裡有個規定：當且僅當ax=b/x時取到最小值，解出x=sqrt(b/a)，對應的f(x)=2sqrt(ab)。我們再來看看均值不等式，它也可以寫成這樣：(a+b)/2≥sqrt(ab)，前式大家都知道，是求平均數的公式。那麼後面的式子呢？也是平均數的公式，但不同的是，前面的稱為算術平均數，而後面的則稱為幾何平均數，總結一下就是算術平均數絕對不會小於幾何平均數。這些知識點也是非常重要的。 其實用導數也可以研究對勾函式的性質。不過首先要會負指數冪的換算，這也很簡單，但要熟練掌握。舉幾個例子：1/x=x-1，4/x2=4x-2。明白了吧，x為分母的時候可以轉化成負指數冪。那麼就有f(x)=ax+b/x=ax+bx-1，求導方法一樣，求的的導函式為a+(-b)x-2，令f"(x)=0，計算得到b=ax2，結果仍然是x=sqrt(b/a)，如果需要的話算出f(x)就行了。平時做題的時候用導數還是均值定理，就看你喜歡用那個了。不過注意均值定理最後的討論，有時ax≠b/x，就不能用均值定理了。 上述研究都是建立在x>0的基礎上的，不過對勾函式是奇函式，所以研究出正半軸影象的性質後，自然能補出對稱的影象。如果出現平移了的問題（影象不再規則），就先用平移公式或我總結出的平移規律還原以後再研究，這個能力非常重要，一定要多練，爭取做到特別熟練的地步。 對勾函式實際是反比例函式的一個延伸，至於它是不是雙曲線還眾說不一。
對勾函式是一種類似於反比例函式的一般函式。所謂的對勾函式，是形如f(x)=ax+b/x的函式，是一種教材上沒有但考試老喜歡考的函式，所以更加要注意和學習。一般的函式影象形似兩個中心對稱的對勾，故名。當x>0時，f(x)=ax+b/x有最小值（這裡為了研究方便，規定a>0，b>0），也就是當x=sqrt(b/a)的時候（sqrt表示求二次方根）。同時它是奇函式，就可以推匯出x<0時的性質。令k=sqrt(b/a)，那麼，增區間：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；減區間：{x|-k≤x<0}∪{x|0<x≤k}。由單調區間可見，它的變化趨勢是：在y軸左邊，增減，在y軸右邊，減增，是兩個勾。 對勾函式性質的研究離不開均值不等式。說到均值不等式，其實也是根據二次函式得來的。我們都知道，(a-b)2≥0，展開就是a2-2ab+b2≥0，有a2+b2≥2ab，兩邊同時加上2ab，整理得到(a+b)2≥4ab，同時開根號，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab)。現在把ax+b/x套用這個公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)＝2sqrt(ab)，這裡有個規定：當且僅當ax=b/x時取到最小值，解出x=sqrt(b/a)，對應的f(x)=2sqrt(ab)。我們再來看看均值不等式，它也可以寫成這樣：(a+b)/2≥sqrt(ab)，前式大家都知道，是求平均數的公式。那麼後面的式子呢？也是平均數的公式，但不同的是，前面的稱為算術平均數，而後面的則稱為幾何平均數，總結一下就是算術平均數絕對不會小於幾何平均數。這些知識點也是非常重要的。 其實用導數也可以研究對勾函式的性質。不過首先要會負指數冪的換算，這也很簡單，但要熟練掌握。舉幾個例子：1/x=x-1，4/x2=4x-2。明白了吧，x為分母的時候可以轉化成負指數冪。那麼就有f(x)=ax+b/x=ax+bx-1，求導方法一樣，求的的導函式為a+(-b)x-2，令f"(x)=0，計算得到b=ax2，結果仍然是x=sqrt(b/a)，如果需要的話算出f(x)就行了。平時做題的時候用導數還是均值定理，就看你喜歡用那個了。不過注意均值定理最後的討論，有時ax≠b/x，就不能用均值定理了。 上述研究都是建立在x>0的基礎上的，不過對勾函式是奇函式，所以研究出正半軸影象的性質後，自然能補出對稱的影象。如果出現平移了的問題（影象不再規則），就先用平移公式或我總結出的平移規律還原以後再研究，這個能力非常重要，一定要多練，爭取做到特別熟練的地步。 對勾函式實際是反比例函式的一個延伸，至於它是不是雙曲線還眾說不一。