艾森斯坦判別法是代數的定理，給出了判定整係數多項式不能分解為整係數多項式乘積的充分條件。由高斯定理，這判別法也是多項式在有理數域不可約的充分條件。艾森斯坦判別法是說：給出下面的整係數多項式如果存在素數p，使得p不整除an ，但整除其他ai ； p2 不整除a0 ， 那麼f(x) 是不可約的。例子給了多項式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10，試確定它能否分解為有理係數多項式之積。試用艾森斯坦判別法。素數2和3都不適合，考慮素數p = 5。5整除x的係數15和常數項10，但不整除首項3。而且52 = 25不整除10。所以g(x)在有理數域不可約。有時候不能直接用判別法，或者可以代入y = x + a後再使用。例如考慮h(x) = x2 + x + 2。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除x的係數1。但把h(x)代入為h(x + 3) = x2 + 7x + 14，可立刻看出素數7整除x的係數和常數項，但72 = 49不整除常數項。所以有時透過代入便可以用到判別法。艾森斯坦判別法得出的一個著名結果如下：對素數p，以下多項式在有理數域不可約。。 要使用艾森斯坦判別法，先作代換x = y + 1。新的常數項是p，除首項是1外，其他項的係數是二項式係數，k大於0，所以可以被p除盡。初等證明對多項式f(x)取模p，也就是把它的係數對映到域上。這樣它便化為，其中c為非零常數。因為在域上的多項式有唯一分解，f在模p上會分解為單項式。如果f是在有理數上可約的，那麼會有多項式g, h使得f = g h。從上可知g和h取模p分別為和，滿足c = d e。因為g和h模p的常數項為零，這表示g和h的常數項均可被p整除，所以f的常數項a0可以被p2整除，與f係數的假設矛盾。因此得證。