一、前言部分
級數理論是數學研究的重要物件,它不但在日常的生產、生活中都有廣泛的應用,而且還是研究函式性質進行數值計算的有力工具。其中級數求和是級數理論的基本問題之一,也是較難解決的問題,因為除等比級數、等差級數等一些常見的特殊級數外,一般級數都難以求出它的部分和,所以級數求和的方法比較靈活,技巧性也比較強,因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也就顯得尤為重要。
因此許多學者透過理解、構造、舉例等,從多方面、各角度對級數求和的解題策略和方法作出了大膽的研究和探索,為具體問題求解創造了更有效的應用價值,也為級數求和問題的進一步發展作出了新的貢獻。
經過大量參考文獻的閱讀,我們發現許多研究者還在各類論文、期刊、書籍中進一步介紹瞭如何利用收斂定義、冪級數、傅立葉級數、解微分方、一些有趣的公式、機率組合與組合數公式的性質及藉助已知級數的和並利用收斂級數的運算等基本性質來求數項級數的和。
在對主題進行探討研究前,作為鋪墊,下面首先了解一下其中基礎的概念知識[1]:
定義1:若數項級數的部分數列收斂於(即),
則稱數項級數收斂,稱為數項級數的和(即)
定義2:有冪級數列所產生的函式項級數
稱為冪級數
定義3:若函式在點的某領域記憶體在直至階的連續導數,則
稱為函式在點的泰勒公式。
若在處存在任意階導數,則這時稱形式為
的級數為函式在點的泰勒級數。
定義4:如果函式在點的某領域上等於其泰勒級數的和函式,則稱函式在點
的這一領域內可以展開成泰勒級數,並稱等式
的右邊為在處的泰勒展開式或稱冪級數展開式。 定義5:若整個數軸上?
且等式右邊級數一致收斂,則有如下關係式:
,
它們稱為函式(關於三角函式系)的傅立葉係數,以的傅立葉係數為係數的三
角級數?稱為(關於三角函式系)的傅立葉級數。
二、主題部分
無窮級數是最簡單的無窮表示式,最早的無窮級數涉及哲學和邏輯的悖論,
並沒有推及一般的無窮級數;其次無窮級數往往同微積分在一起敘述,而這時期無窮級數只是近似計算的工具。現有的文獻對無窮級數某些方面的發展做了深入研究,L. Feigenbaum【2】曾詳細研究了泰勒定理的產生過程;Giovanni Ferraro
【3】從尤拉對插值問題研究的角度分析了尤拉??麥克勞林求和公式的推導;P.Dugac【4】從總結魏爾斯特拉斯的研究工作中分析了級數的一致收斂性。
1、級數的早期工作
無窮級數很早就在希臘數學中出現過,雖然希臘人懼怕無窮,試圖用有限和來代替無窮和,但是這只是潛無窮與實無窮的差別。芝諾的二分法涉及到把1分解成無窮級數。亞里士多德也認為這種公比小於1的幾何級數有和。阿基米德在他的《拋物線圖形求積法》一書中,在求拋物線弓形面積的方法中使用了幾何級數,並且求出了它的和。中國古代的《莊子?天下》中的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”含有極限的思想,用數學形式表達出來也是無窮級數[5]。
到了中世紀,無窮級數這個課題曾使那時的哲學家與數學家著迷,既引起了他們對“無窮”的興趣,又促使他們就一些明顯的悖論進行激烈的爭論。例如,修塞特解決了這樣一個問題,它可以藉助於運用敘述如下[6]:
如果一個點在某段時間的前一刻以不變的初始速度運動,在接下來四分之一的時間中以二倍的初始速度運動,在隨後的八分之一時間中以三倍的初始速度運動„„這樣無限的繼續下去,那麼這個點在整個這段時間的平均速度等於初始速度的二倍。把這段時間的長度和初始速度都取為一個單位,則上述問題等價於級數求和
在這個方面最傑出的代表人物就是奧雷姆,他有許多天才的思想,尤其是無窮的思想。他明確幾何級數有兩種可能性,當公比大於等於1時,無窮幾何級
數有無窮和;當公比小於等於1時有有限和。在《歐幾里得幾何問題》中,他以嚴格的方式證明當無窮級數項的值不是按比例減少時,其和也可以是無窮,並且在書中以調和級數作為例子來探討[7]。
無窮級數的研究在十五、十六世紀以休塞特和奧雷姆的方式繼續前進,但由於僅限於文字敘述和幾何方法,所以沒有取得重大進步。這些無窮級數早期研究的主要貢獻並不在於所得到的具體結果,而在於促使人們接受一種新的觀點,即在數學中可以自由承認無限過程。
17世紀微積分誕生之後,無窮級數作為一種工具在數學的前進中起到了巨大的推動作用。為了把早期的微積分方法應用於超越函式,常常需要把這些函式表示為可以逐項微分或積分的無窮級數,泰勒定理為此做出了貢獻。將函式展成無窮級數之後,人們又在考慮這個問題的逆問題,即級數的求和問題。
尤拉和麥克勞林為此給出了一個求和公式??尤拉?麥克勞林求和公式。18世紀級數方面的工作大都是形式的,大部分數學家都把級數看作多項式的代數推廣,於是產生許多問題,從而要求數學家進行嚴密化的研究。19世紀,柯西建立了級數理論,阿爾貝對此進行了完善,後來由魏爾斯特拉斯提出的一致收斂完成了整個級數理論的構建。級數理論的形成影響了發散級數在數學中的地位,但最終由於它的實用性形成了漸近分析。
2、 早期的級數求和
在17?18世紀,數學家打破對無窮的禁戒,逐漸應用無窮級數作為表示數量的工具,同時研究各種無窮級數的求和問題,17世紀中葉,聖文森特的格雷戈裡在他的《幾何著作》中,證明了阿基里斯追龜的悖論可以用無窮幾何級數的求和來解決。格雷戈裡第一次明白了無窮級數表示一個數,即級數的和,並稱這個數
為級數的極限。他說:“一個數列的終點就是它,即使延續到無限項也不能達到的這個級數的盡頭,但是這個數列卻能夠比任何給定的區間更接近它。”
1650年,門格里給出[8]
級數容易求和,因為恰有 因此, 。
設,就可以得到這個無窮級數的和為1[9]。
第一個真正粗略求和的問題是也是門格里研究的這個級數,但門格里對這個級數的研究沒有取得成功。
萊布尼茨考察過調和級數,曾試圖將和表示成一個有限值,但是後來未能做到這一點。1696年他認識到將表示成有限值這一想法是錯誤的。
雅各布?伯努利在1689?1704年間撰寫了5篇關於無窮級數的論文,共60個命題,使他成為當時這一領域的權威。在第一篇論文中,就級數理論本身而言,雅各布?伯努利做出了一個很有啟發性的工作,即證明調和級數1+++++„的和是無窮[10]。他首先指出了故有這意味著可將原級數中的項分組並使每一組的和都大於1,於是我們總可以得到調和級數的有限多項的和,使它大於任何給定的量,從而整個級數的和必是無窮。在文章末尾,他還證明了無窮級數的和是有限數,他雖然承認自己還不能求出這個和的精確值,但卻知道關於優級數可以求出它的前n項和。雅各布?伯努利去世之後,級數的和最後由尤拉於1737年成功地得到。
在級數求和的問題中,引起了極大的爭議。如果把級數寫成結果為。如果把級數寫成結果為。但是,如果把級數的和表為,則,從而。格朗迪是比薩大學的數學教授,在他的《圓和雙曲線的求積》一書中[11],用表示式
令,得到。他主張級數的和為,還表示由於級數在的形式下為,他也已證明世界能夠從空無一物創造出來。1713年以後,萊布尼茨在和沃爾夫的相互通訊中,也研究過級數,並同意格朗迪的結果,但他有另一種論證的方法。萊布尼茨認為,如果級數的第一項,前兩項的和、前三項的和、前四項的和等等,那麼就得到。在這裡取和的機率是相等的,因此必須取算術平均數作為和,因為這個算術平均數是最有可能取的到的值。雅各布?伯努利、約翰?伯努利、丹尼爾?伯努利以及拉格朗日都能接受這樣的解釋。
3、 現今級數的求和
經過歷史的研究與發展,結合歷史上大量數學家的研究理論與所得結論,當今學者對級數問題與級數求和問題都做出了深入的考察與進一步的探究,創造性地提出了許多級數求和的策略與方法。
於乃福,金丹麗,仲濟?,康國強、華守亮分別在《數項級數求和法》[12]、《級數求和的方法》[13]、《級數求和的解題策略》[14]、《數項級數的求和問題初探》[15]文獻中研究了利用收斂定義,即若數項級數的部分數列收斂於(即),則稱數項級數收斂,稱為數項級數的和(即);用收斂冪級數的和函式,即找一個適當的冪級數,使收斂域內某一點對應的數項級數恰好為所要求的數項級數;及其傅立葉級數求數項級數的和的思想方法,並討論了利用學習藉助已知級數的和及利用收斂級數的運算等基本性質求數項級數的和的方法。
徐望文、曾維宏,郭定根,劉小寧,湯光宋、朱渭川,湯光宋分別在《一類級數的求和公式》[16]、《數項級數求和的若干方法》[17]、《求無窮級數和的一個遞推公式》[18]、《某一類交錯級數求和的遞推公式》[19]、《幾類有趣分式型數列的求和公式》[20]文獻中提出並證明了一些解決不同級數的求和問題的結論與公式,使我們對某類具體的級數求和問題有了更簡便的求法。
毛慧娟在《係數為多項式的冪級數求和法》[21]這一文獻中更是透過舉例
而潘天娟則主要在《利用解微分方程求無窮級數的和》[22]這一文獻中提出了利用解微分方程來求無窮級數的和這一思想方法,使級數的求和方法更靈活也更寬闊。
當然經大量文獻閱讀後還發現陳碧琴、翁紹銘等學者甚至在創造性地將級數求和問題與機率組合聯絡在一起[24],得出了一些新性質,並透過對它的恆等變形在某些數列的求和方面進行了實際的應用[25],更使級數求和問題透過機率論得到了新的證明與具體應用。
無窮級數及其求和方式的發展演化正是上述分析背景的寫照,它在18世紀的形成發展,促成了數學家在19世紀建立無窮級數理論。現今數學理論的學習與研究中,無窮級數更是作為眾多學者研究的一個有效工具,無窮級數求和也作為研究的一塊重要內容,促使數學家在數學發展上進行大膽的嘗試,雖然產生許多悖論,但使數學產生了很多分支,豐富了數學理論的發展。此外,發散級數在天文、物理上的廣泛應用,推動了人類發展的進步。
三、總結部分
本文對級數與級數求和的有關內容進行探討,並對一些基礎的概念進行概括說明。對級數及其求和早期的發展進行了有序的梳理,尤其對十七世紀後,格雷
戈裡、門格里、萊布尼茨、雅各布?伯努利、尤拉、格朗迪等眾多數學家對級數理論的大量研究成果經行歸納總結。並歸納總結了現今數學研究者對級數求和問題所提出的新內容,如利用收斂冪級數的和函式、傅立葉級數、收斂定義及收斂級數的運算等基本性質、已知級數的和及、微分方程、已知恆等式、一些遞推公式、幾類有趣分式型數列的求和公式、機率組合及組合數公式的性質等,從多方面、各角度對級數求和的解題策略和方法作了進一步探討。
熟悉並熟練掌握以上所述的各類級數求和的思維轉化策略及問題轉化的技巧,不但有利於我們增強洞察問題的能力,更能大大提高我們解答級數求和問題的速度與準確率。但由於此些策略與方法之間不是孤立的,往往相互滲透、共同作用才能解決問題,所以這也就要求我們能熟練並靈活地掌握這些策略與方法,深入挖掘其本質,為進一步探究級數求和問題大好夯實的基礎。相信在此學習基礎上大家一定能在級數求和問題上會有開寬闊創新的思維,並做出更深一步的研究,甚至利用級數及其求和理論來解決物理、經濟學等疑難問題,並掌握這種重要的數學思想,對數學研究或解決更深層的實際問題作更大的貢獻。
一、前言部分
級數理論是數學研究的重要物件,它不但在日常的生產、生活中都有廣泛的應用,而且還是研究函式性質進行數值計算的有力工具。其中級數求和是級數理論的基本問題之一,也是較難解決的問題,因為除等比級數、等差級數等一些常見的特殊級數外,一般級數都難以求出它的部分和,所以級數求和的方法比較靈活,技巧性也比較強,因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也就顯得尤為重要。
因此許多學者透過理解、構造、舉例等,從多方面、各角度對級數求和的解題策略和方法作出了大膽的研究和探索,為具體問題求解創造了更有效的應用價值,也為級數求和問題的進一步發展作出了新的貢獻。
經過大量參考文獻的閱讀,我們發現許多研究者還在各類論文、期刊、書籍中進一步介紹瞭如何利用收斂定義、冪級數、傅立葉級數、解微分方、一些有趣的公式、機率組合與組合數公式的性質及藉助已知級數的和並利用收斂級數的運算等基本性質來求數項級數的和。
在對主題進行探討研究前,作為鋪墊,下面首先了解一下其中基礎的概念知識[1]:
定義1:若數項級數的部分數列收斂於(即),
則稱數項級數收斂,稱為數項級數的和(即)
定義2:有冪級數列所產生的函式項級數
稱為冪級數
定義3:若函式在點的某領域記憶體在直至階的連續導數,則
稱為函式在點的泰勒公式。
若在處存在任意階導數,則這時稱形式為
的級數為函式在點的泰勒級數。
定義4:如果函式在點的某領域上等於其泰勒級數的和函式,則稱函式在點
的這一領域內可以展開成泰勒級數,並稱等式
的右邊為在處的泰勒展開式或稱冪級數展開式。 定義5:若整個數軸上?
且等式右邊級數一致收斂,則有如下關係式:
,
它們稱為函式(關於三角函式系)的傅立葉係數,以的傅立葉係數為係數的三
角級數?稱為(關於三角函式系)的傅立葉級數。
二、主題部分
無窮級數是最簡單的無窮表示式,最早的無窮級數涉及哲學和邏輯的悖論,
並沒有推及一般的無窮級數;其次無窮級數往往同微積分在一起敘述,而這時期無窮級數只是近似計算的工具。現有的文獻對無窮級數某些方面的發展做了深入研究,L. Feigenbaum【2】曾詳細研究了泰勒定理的產生過程;Giovanni Ferraro
【3】從尤拉對插值問題研究的角度分析了尤拉??麥克勞林求和公式的推導;P.Dugac【4】從總結魏爾斯特拉斯的研究工作中分析了級數的一致收斂性。
1、級數的早期工作
無窮級數很早就在希臘數學中出現過,雖然希臘人懼怕無窮,試圖用有限和來代替無窮和,但是這只是潛無窮與實無窮的差別。芝諾的二分法涉及到把1分解成無窮級數。亞里士多德也認為這種公比小於1的幾何級數有和。阿基米德在他的《拋物線圖形求積法》一書中,在求拋物線弓形面積的方法中使用了幾何級數,並且求出了它的和。中國古代的《莊子?天下》中的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”含有極限的思想,用數學形式表達出來也是無窮級數[5]。
到了中世紀,無窮級數這個課題曾使那時的哲學家與數學家著迷,既引起了他們對“無窮”的興趣,又促使他們就一些明顯的悖論進行激烈的爭論。例如,修塞特解決了這樣一個問題,它可以藉助於運用敘述如下[6]:
如果一個點在某段時間的前一刻以不變的初始速度運動,在接下來四分之一的時間中以二倍的初始速度運動,在隨後的八分之一時間中以三倍的初始速度運動„„這樣無限的繼續下去,那麼這個點在整個這段時間的平均速度等於初始速度的二倍。把這段時間的長度和初始速度都取為一個單位,則上述問題等價於級數求和
在這個方面最傑出的代表人物就是奧雷姆,他有許多天才的思想,尤其是無窮的思想。他明確幾何級數有兩種可能性,當公比大於等於1時,無窮幾何級
數有無窮和;當公比小於等於1時有有限和。在《歐幾里得幾何問題》中,他以嚴格的方式證明當無窮級數項的值不是按比例減少時,其和也可以是無窮,並且在書中以調和級數作為例子來探討[7]。
無窮級數的研究在十五、十六世紀以休塞特和奧雷姆的方式繼續前進,但由於僅限於文字敘述和幾何方法,所以沒有取得重大進步。這些無窮級數早期研究的主要貢獻並不在於所得到的具體結果,而在於促使人們接受一種新的觀點,即在數學中可以自由承認無限過程。
17世紀微積分誕生之後,無窮級數作為一種工具在數學的前進中起到了巨大的推動作用。為了把早期的微積分方法應用於超越函式,常常需要把這些函式表示為可以逐項微分或積分的無窮級數,泰勒定理為此做出了貢獻。將函式展成無窮級數之後,人們又在考慮這個問題的逆問題,即級數的求和問題。
尤拉和麥克勞林為此給出了一個求和公式??尤拉?麥克勞林求和公式。18世紀級數方面的工作大都是形式的,大部分數學家都把級數看作多項式的代數推廣,於是產生許多問題,從而要求數學家進行嚴密化的研究。19世紀,柯西建立了級數理論,阿爾貝對此進行了完善,後來由魏爾斯特拉斯提出的一致收斂完成了整個級數理論的構建。級數理論的形成影響了發散級數在數學中的地位,但最終由於它的實用性形成了漸近分析。
2、 早期的級數求和
在17?18世紀,數學家打破對無窮的禁戒,逐漸應用無窮級數作為表示數量的工具,同時研究各種無窮級數的求和問題,17世紀中葉,聖文森特的格雷戈裡在他的《幾何著作》中,證明了阿基里斯追龜的悖論可以用無窮幾何級數的求和來解決。格雷戈裡第一次明白了無窮級數表示一個數,即級數的和,並稱這個數
為級數的極限。他說:“一個數列的終點就是它,即使延續到無限項也不能達到的這個級數的盡頭,但是這個數列卻能夠比任何給定的區間更接近它。”
1650年,門格里給出[8]
級數容易求和,因為恰有 因此, 。
設,就可以得到這個無窮級數的和為1[9]。
第一個真正粗略求和的問題是也是門格里研究的這個級數,但門格里對這個級數的研究沒有取得成功。
萊布尼茨考察過調和級數,曾試圖將和表示成一個有限值,但是後來未能做到這一點。1696年他認識到將表示成有限值這一想法是錯誤的。
雅各布?伯努利在1689?1704年間撰寫了5篇關於無窮級數的論文,共60個命題,使他成為當時這一領域的權威。在第一篇論文中,就級數理論本身而言,雅各布?伯努利做出了一個很有啟發性的工作,即證明調和級數1+++++„的和是無窮[10]。他首先指出了故有這意味著可將原級數中的項分組並使每一組的和都大於1,於是我們總可以得到調和級數的有限多項的和,使它大於任何給定的量,從而整個級數的和必是無窮。在文章末尾,他還證明了無窮級數的和是有限數,他雖然承認自己還不能求出這個和的精確值,但卻知道關於優級數可以求出它的前n項和。雅各布?伯努利去世之後,級數的和最後由尤拉於1737年成功地得到。
在級數求和的問題中,引起了極大的爭議。如果把級數寫成結果為。如果把級數寫成結果為。但是,如果把級數的和表為,則,從而。格朗迪是比薩大學的數學教授,在他的《圓和雙曲線的求積》一書中[11],用表示式
令,得到。他主張級數的和為,還表示由於級數在的形式下為,他也已證明世界能夠從空無一物創造出來。1713年以後,萊布尼茨在和沃爾夫的相互通訊中,也研究過級數,並同意格朗迪的結果,但他有另一種論證的方法。萊布尼茨認為,如果級數的第一項,前兩項的和、前三項的和、前四項的和等等,那麼就得到。在這裡取和的機率是相等的,因此必須取算術平均數作為和,因為這個算術平均數是最有可能取的到的值。雅各布?伯努利、約翰?伯努利、丹尼爾?伯努利以及拉格朗日都能接受這樣的解釋。
3、 現今級數的求和
經過歷史的研究與發展,結合歷史上大量數學家的研究理論與所得結論,當今學者對級數問題與級數求和問題都做出了深入的考察與進一步的探究,創造性地提出了許多級數求和的策略與方法。
於乃福,金丹麗,仲濟?,康國強、華守亮分別在《數項級數求和法》[12]、《級數求和的方法》[13]、《級數求和的解題策略》[14]、《數項級數的求和問題初探》[15]文獻中研究了利用收斂定義,即若數項級數的部分數列收斂於(即),則稱數項級數收斂,稱為數項級數的和(即);用收斂冪級數的和函式,即找一個適當的冪級數,使收斂域內某一點對應的數項級數恰好為所要求的數項級數;及其傅立葉級數求數項級數的和的思想方法,並討論了利用學習藉助已知級數的和及利用收斂級數的運算等基本性質求數項級數的和的方法。
徐望文、曾維宏,郭定根,劉小寧,湯光宋、朱渭川,湯光宋分別在《一類級數的求和公式》[16]、《數項級數求和的若干方法》[17]、《求無窮級數和的一個遞推公式》[18]、《某一類交錯級數求和的遞推公式》[19]、《幾類有趣分式型數列的求和公式》[20]文獻中提出並證明了一些解決不同級數的求和問題的結論與公式,使我們對某類具體的級數求和問題有了更簡便的求法。
毛慧娟在《係數為多項式的冪級數求和法》[21]這一文獻中更是透過舉例
而潘天娟則主要在《利用解微分方程求無窮級數的和》[22]這一文獻中提出了利用解微分方程來求無窮級數的和這一思想方法,使級數的求和方法更靈活也更寬闊。
當然經大量文獻閱讀後還發現陳碧琴、翁紹銘等學者甚至在創造性地將級數求和問題與機率組合聯絡在一起[24],得出了一些新性質,並透過對它的恆等變形在某些數列的求和方面進行了實際的應用[25],更使級數求和問題透過機率論得到了新的證明與具體應用。
無窮級數及其求和方式的發展演化正是上述分析背景的寫照,它在18世紀的形成發展,促成了數學家在19世紀建立無窮級數理論。現今數學理論的學習與研究中,無窮級數更是作為眾多學者研究的一個有效工具,無窮級數求和也作為研究的一塊重要內容,促使數學家在數學發展上進行大膽的嘗試,雖然產生許多悖論,但使數學產生了很多分支,豐富了數學理論的發展。此外,發散級數在天文、物理上的廣泛應用,推動了人類發展的進步。
三、總結部分
本文對級數與級數求和的有關內容進行探討,並對一些基礎的概念進行概括說明。對級數及其求和早期的發展進行了有序的梳理,尤其對十七世紀後,格雷
戈裡、門格里、萊布尼茨、雅各布?伯努利、尤拉、格朗迪等眾多數學家對級數理論的大量研究成果經行歸納總結。並歸納總結了現今數學研究者對級數求和問題所提出的新內容,如利用收斂冪級數的和函式、傅立葉級數、收斂定義及收斂級數的運算等基本性質、已知級數的和及、微分方程、已知恆等式、一些遞推公式、幾類有趣分式型數列的求和公式、機率組合及組合數公式的性質等,從多方面、各角度對級數求和的解題策略和方法作了進一步探討。
熟悉並熟練掌握以上所述的各類級數求和的思維轉化策略及問題轉化的技巧,不但有利於我們增強洞察問題的能力,更能大大提高我們解答級數求和問題的速度與準確率。但由於此些策略與方法之間不是孤立的,往往相互滲透、共同作用才能解決問題,所以這也就要求我們能熟練並靈活地掌握這些策略與方法,深入挖掘其本質,為進一步探究級數求和問題大好夯實的基礎。相信在此學習基礎上大家一定能在級數求和問題上會有開寬闊創新的思維,並做出更深一步的研究,甚至利用級數及其求和理論來解決物理、經濟學等疑難問題,並掌握這種重要的數學思想,對數學研究或解決更深層的實際問題作更大的貢獻。