托勒密定理的證明：

托勒密bai定理：圓內接四邊形兩條對角線的乘積du等於兩對對邊乘積之zhi和。

方法一

如下圖所示，ABCD為圓內dao接四邊形，則對角線AC與BD的乘積等於一對對邊AB與CD的乘積加上另一對對邊AD與BC的乘積，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。證明：（1）如下圖所示。不妨設∠ACB大於∠ACD（其實也無所謂，見下圖圖2，先不用管它）。於是，在∠ACB內作一個以點C為頂點、以CB為一邊的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（圖(1)中的紅色角）。又由於∠CAD=∠CBE（同弧同側的圓周角相等），所以三角形ACD與BCE相似。於是有AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE（稱為1式）。

（2）同理，如上圖圖(2)所示，三角形CDE與ABC相似。從而有CD : AC = DE : AB，即AB·CD=AC·DE（稱為2式）。（3）1式加上2式，即得AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD。即AC·BD=AB·CD+AD·BC證畢。擴充套件資料推廣托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小於其對角線的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。

簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD推論1、任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。2、托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓。

方法二

在任意凸四du邊形ABCD中，作△zhiABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,連線DE.則△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因為BE+ED≥BD（僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）複數證明：用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的複數，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到複數恆等式： (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b−d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 四點不限於同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

方法三：設ABCD是圓內接四邊形。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。

方法四：托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等於兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC．證明：如上圖，過C作CP交BD於P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·B