寫我自己發現的兩個:

1. 除了3,4,5之外不存在任何包含孿生數的勾股數;

2. 任何整數都能寫成兩個平方數和一個立方數的和。這裡平方數和立方數分別指正整數或負整數的平方或者立方。

證明如下:

2. 對任何整數n，可以找到整數a,b,c，使得n=a^2+b^2+c^3

證明：若n為奇數，設n=2k+1（k為整數），則透過配方法：

n=2k+1=2k^3-4k^2+2k-2k^3+4k^2+1

=2k(k^2-2k+1)+((k^3-2k^2-1)+(k^3-2k^2))*(( (k^3-2k^2-1)-(k^3-2k^2))

=2k(k-1)^2+(k^3-2k^2-1)^2-(k^3-2k^2)^2

=2k((k-1)^2-(k^2-2k)^2)+2k(k^2-2k)^2+(k^3-2k^2-1)^2-k^2 (k^2-2k)^2

=2k(k-1+k^2-2k)*(k-1-k^2+2k)+(k^2-2k)^2*(2k-k^2)+(k^3-2k^2-1)^2

=2k(k^2-k-1)(-k^2+3k-1)+(k^3-2k^2-1)^2+(2k-k^2)^3

=-2(k^2-k-1)(k^3-3k^2+k) +(k^3-2k^2-1)^2+(2k-k^2)^3

=-2(k^2-k-1)(k^3-3k^2+k) +((k^3-3k^2+k)-(k^2-k-1))^2+(2k-k^2)^3

=(k^3-3k^2+k)^2+(k^2-k-1)^2+(2k-k^2)^3

上述顯然符合a^2+b^2+c^3。

若n為偶數，類似地，

4k+2=(2k^3-2k^2-k)^2+(2k^3-4k^2-k+1)^2+(2k+1-2k^2)^3

8k+4=(k^3+k+2)^2+(k^2-2k-1)^2+(1-k^2)^3

16k+8=(2k^3-8k^2+4k+2)^2+(2k^3-4k^2-2)+(4k-2k^2)^3

16k=(k^3+7k-2)^2+(x^2+2k+11)^2+(5-k^2)^3

顯然所有偶數可以寫成上述形式中的一種。因此所有整數可以寫成a^2+b^2+c^3。

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先寫下第一條定理的證明吧。有至少兩種證法，先寫種簡單的:

首先，所有大於等於5的孿生數都可以寫成6n+1和6n-1的形式（n是正整數），因為6n，6n+2，6n+3，6n+4都不可能是質數，而剩下的6n+1和6n+5相差4，要變成相差2，6n+5要變成6n+5-6，於是孿生數就必須得變成6n+1和6n-1的形式。

所以，如果勾股數包含孿生數，那麼(6n+1)^2+(6n-1)^2或者(6n+1)^2-(6n-1)^2需要是完全平方數。

首先考慮第一種可能。(6n+1)^2+(6n-1)^2=36n^2+12n+1+36n^2-12n+1=72 n^2+2。這個數是偶數，但不可能是4的倍數，所以不可能是完全平方數。

再考慮第二種可能。(6n+1)^2-(6n-1)^2=（6n+1+6n-1）x（6n+1-（6n-1））= 12n x 2 = 24n。那麼24n必須是完全平方數。如果24n是完全平方數，由於24n=4 x 6n，所以6n是完全平方數，n必須是6的倍數，而且除以6以後必須是完全平方數。

因此，我們可以設n=6k^2，k為正整數。這樣的話，6n-1=6x6k^2-1=(6k+1)x(6k-1)，不可能是質數。

綜上所述，我們可以推匯出除了3,4,5之外，勾股數中不可能包含孿生數。