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  • 1 # 跋涉的年輪

    我們要認識到,悖論問題的實質是人類自身思維的矛盾性。從廣義上講,悖論不僅包括人們思維成果之間的矛盾,也包括思維成果與現實世界的明顯的矛盾性。所以,悖論作為人類思維繫統的一種矛盾形式,它的消解必須從人們思維繫統自身的矛盾性和不完善性著手,需要人類戰勝和超越自己。

    歷史上隨著一次一次的悖論的消解,更完備的公理系統被提出,人類的思維和科學系統得到完善,科學得到進一步的發展;聖彼得堡悖論也是如此。以上四種消解方法均避開了問題本質,沒有觸及人們的思維繫統,但是這些努力使我們認識到僅從實際出發是不能解決問題的,而最合理的解釋就是——保留期望值的定義,調整我們的思維。當我們這樣做的時候,聖彼得堡悖論就不再是一個悖論了!

    聖彼得堡悖論的根源在於樣本均值與總體均值的差異,以及我們對於「無窮大」的理解。根據伯努利大數定律,當樣本容量N趨近於無窮時,樣本均值依機率收斂於其期望值。但對於這裡的「無窮」,我們平時的「大小」概念已經不能適用了。涉及無窮大概念比較的時候,就需要用相應的比較方法。聖彼得堡遊戲的結果集合是一個無窮集合,而實際實驗的樣本是一個有窮集合,它們是不能用現有的辦法比較的。

    因此,這一悖論的出現並非是由於我們的計算方法的缺陷。我們需要承認它的期望值是無窮大;而實際上它的均值又不可能是無窮大,由於試驗次數沒有辦法達到真正意義上的「無窮大」,它們之間的差異是必然存在的。

    用電腦進行模擬試驗的結果說明,實際試驗的平均值——樣本均值是隨著實驗次數的增加而變化的。在大量實驗以後,其實驗均值X可以近似表示為,可見當實驗次數趨向無窮大的時候,樣本均值也趨向無窮大。比如100萬、即次實驗的平均值等於,即樣本均值為20元左右;要樣本均值達到1000元,實驗次數就要達到次,這時候有可能出現的最高投擲次數約為1000次左右,相應的最高賠付金額為,已經達到了天文數字了。在實驗次數趨向無窮大的時候,收益趨向於無窮大的速度慢多了。

    所以說,轉變我們的觀念,聖彼得堡悖論便不再是悖論

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