這是由環的公理化定義決定的。要是沒有基礎，這個說起來不是那麼容易，這個涉及代數基本結構。
我們小學學習四則運算是按照一定認知規律進行的，加、減、乘、除，一般是這個順序，這個順序正好對應著代數結構由簡單到複雜的過程。
我們一開始學習加法，這是一個可交換的二元運算（我們記為 ），滿足結合律，有單位元素0，這就構成了一個可交換么半群的代數結構。
也就是說滿足以下幾條公理的集合就叫做可交換么半群（封閉性是最基礎的，就不提了）
(1) ；（加法結合律 ）
(2) ；（加法交換律）
(3) 存在一個元素 ，對於任意元素 ，都有 ；（單位元）
（注：如果只滿足公理1，就叫半群。如果只滿足公理1、3，就叫么半群。）
具體到算數里的加法，
因此，算數里的加法，其實就是一個可交換么半群的代數結構。
在此基礎上，如果再引入逆元素，相當於就定義了相反數，於是順理成章地就誘匯出加法運算的逆運算——減法。這其實就構成了阿貝爾群的代數結構，除了滿足前面三條公理之外，還要滿足第四個公理：
(4) 對於任意元素 ，都存在一個與之相對應的元素 ，使得
具體到算數里，就是相反數定義
（注：如果只滿足公理1、3、4，就叫做群）
以此為基礎，就可用加法和逆元素來定義減法： ，減法是由加法誘匯出來的。因此我們可以說，算數加、減法其實就是一個阿貝爾群的代數結構
小學學習了 加減法之後，就要開始學習乘法。這其實是在前面的基礎上再引入一個新的二元運算（我們記為 )，該運算滿足結合律（封閉性是最基礎的，就不提了），( )合在一起還滿足分配率，這就構成了環的代數結構。因此環除了滿足上述四條公理外，還滿足以下兩條公理：
(5) （乘法結合律）
(6) （右分配律）
（左分配律）
如果對於運算 還滿足交換律，則稱為交換環：
(7) （乘法交換律）
如果交換環還滿足：(8) 對於任意元素都有 （ 為 運算的單位元，見公理(3)）
則稱此交換環具有零因子。對應於算數里的
因此我們可以說，算數加、減、乘法其實就構成了具有零因子的交換環的代數結構。
現在我們已經建立了環的代數結構，下面我要開始證明為何負負得正
（利用了公理4） （零因子定義(8)）
（利用了公理6）
（等式兩邊加 並利用公理4）
記以上等式為等式1，此等式其實就是在說正負得負
再繼續
所以 （利用了公理6）
又因為等式1，所以
等式兩邊同時加 得到 （利用了公理4）
於是證明了負負得正。
從證明中可看出，公理3、公理4、公理6，以及零因子存在這四個因素共同作用造成的負負得正，正負得負
補充：如果對於 運算，非零元還存在逆元素，相當於定義了倒數，由此可誘匯出乘法的逆運算——除法。這就構成了域的代數結構。
我們可以說，算數中能進行加、減、乘、除四則運算就構成了域的代數結構
對於小學初中學過的各種數集，諸如正數、負數、整數、小數、有理數、無理數、實數、虛數、複數之類，只有有理數、實數、複數才能構成域。（正數對減法不封閉，整數對除法不封閉）
這是由環的公理化定義決定的。要是沒有基礎，這個說起來不是那麼容易，這個涉及代數基本結構。
我們小學學習四則運算是按照一定認知規律進行的，加、減、乘、除，一般是這個順序，這個順序正好對應著代數結構由簡單到複雜的過程。
我們一開始學習加法，這是一個可交換的二元運算（我們記為 ），滿足結合律，有單位元素0，這就構成了一個可交換么半群的代數結構。
也就是說滿足以下幾條公理的集合就叫做可交換么半群（封閉性是最基礎的，就不提了）
(1) ；（加法結合律 ）
(2) ；（加法交換律）
(3) 存在一個元素 ，對於任意元素 ，都有 ；（單位元）
（注：如果只滿足公理1，就叫半群。如果只滿足公理1、3，就叫么半群。）
具體到算數里的加法，
因此，算數里的加法，其實就是一個可交換么半群的代數結構。
在此基礎上，如果再引入逆元素，相當於就定義了相反數，於是順理成章地就誘匯出加法運算的逆運算——減法。這其實就構成了阿貝爾群的代數結構，除了滿足前面三條公理之外，還要滿足第四個公理：
(4) 對於任意元素 ，都存在一個與之相對應的元素 ，使得
具體到算數里，就是相反數定義
（注：如果只滿足公理1、3、4，就叫做群）
以此為基礎，就可用加法和逆元素來定義減法： ，減法是由加法誘匯出來的。因此我們可以說，算數加、減法其實就是一個阿貝爾群的代數結構
小學學習了 加減法之後，就要開始學習乘法。這其實是在前面的基礎上再引入一個新的二元運算（我們記為 )，該運算滿足結合律（封閉性是最基礎的，就不提了），( )合在一起還滿足分配率，這就構成了環的代數結構。因此環除了滿足上述四條公理外，還滿足以下兩條公理：
(5) （乘法結合律）
(6) （右分配律）
（左分配律）
如果對於運算 還滿足交換律，則稱為交換環：
(7) （乘法交換律）
如果交換環還滿足：(8) 對於任意元素都有 （ 為 運算的單位元，見公理(3)）
則稱此交換環具有零因子。對應於算數里的
因此我們可以說，算數加、減、乘法其實就構成了具有零因子的交換環的代數結構。
現在我們已經建立了環的代數結構，下面我要開始證明為何負負得正
（利用了公理4） （零因子定義(8)）
（利用了公理6）
（等式兩邊加 並利用公理4）
記以上等式為等式1，此等式其實就是在說正負得負
再繼續
所以 （利用了公理6）
又因為等式1，所以
等式兩邊同時加 得到 （利用了公理4）
於是證明了負負得正。
從證明中可看出，公理3、公理4、公理6，以及零因子存在這四個因素共同作用造成的負負得正，正負得負
補充：如果對於 運算，非零元還存在逆元素，相當於定義了倒數，由此可誘匯出乘法的逆運算——除法。這就構成了域的代數結構。
我們可以說，算數中能進行加、減、乘、除四則運算就構成了域的代數結構
對於小學初中學過的各種數集，諸如正數、負數、整數、小數、有理數、無理數、實數、虛數、複數之類，只有有理數、實數、複數才能構成域。（正數對減法不封閉，整數對除法不封閉）