求函式的值域首先必須明確兩點：一點是值域的概念，即對於定義域A上的函式y=f(x)其值域就是指集合C={y|y=f(x)，x∈A}，另一點是函式的定義域、對應法則是確定函式的依據。求值域常用方法：1、影象法：根據函式圖象，觀察最高點和最低點的縱座標。2、配方法：利用二次函式的配方法求值域，需注意自變數的取值範圍。3、單調性法：利用二次函式的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。4、反函式法：若函式存在反函式，可以透過求其反函式，確定其定義域就是原函式的值域。5、換元法：包含代數換元、三角換元兩種方法，換元后要特別注意新變數的範圍 [2] 。6、判別式法：判別式法即利用二次函式的判別式求值域。7、複合函式法：設複合函式為f[g(x)，]g(x) 為內層函式, 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然後把g(x) 看成一個整體，相當於f(x)的自變數x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然後根據 f(x)函式的性質求出其值域。擴充套件資料：值域：數學名詞，函式經典定義中，因變數改變而改變的取值範圍叫做這個函式的值域，在函式現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x，那麼f(x)的取值範圍就是函式f(x)的值域。常見函式值域：y=kx+b （k≠0）的值域為Ry=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域為x≥0y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ；當a

一．觀察法

透過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。

例1求函式y=3+√(2－3x)的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函式的知域為.

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。

本題透過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函式的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。

練習：求函式y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函式法

當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。

例2求函式y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函式的反函式，再求出其定義域。

解：顯然函式y=(x+1)/(x+2)的反函式為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函式y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函式的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域

例3：求函式y=√(－x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2]

點評：求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習：求函式y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

四．判別式法

若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。

例4求函式y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函式的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

當y=2時,方程(＊)無解。∴函式的值域為2＜y≤10/3。

點評：把函式關係化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。

練習：求函式y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。

五．最值法

對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函式的最值,可得到函式y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變數x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求出函式的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。

∴函式z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間，若存在最值，也可透過求出最值而獲得函式的值域。

練習：若√x為實數，則函式y=x2+3x-5的值域為（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．圖象法

透過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域。

例6求函式y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函式，作出其圖象。

解：原函式化為－2x+1(x≤1)

y=3(-1<x≤2)

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函式值y≥3,所以，函式值域[3，＋∞]。

點評：分段函式應注意函式的端點。利用函式的圖象

求函式的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函式值域的方法較多，還適應透過不等式法、函式的單調性、換元法等方法求函式的值域。

七．單調法

利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1求函式y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函式，從而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函式，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函式值域為｛y|y≤4/3｝。

點評：利用單調性求函式的值域，是在函式給定的區間上，或求出函式隱含的區間，結合函式的增減性，求出其函式在區間端點的函式值，進而可確定函式的值域。

練習：求函式y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．換元法

以新變數代替函式式中的某些量，使函式轉化為以新變數為自變數的函式形式，進而求出值域。

例2求函式y=x-3+√2x+1的值域。

點撥：透過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式，利用二次函式的最值，確定原函式的值域。

解：設t=√2x+1（t≥0）,則

x=1/2(t2-1)。

於是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函式的值域為｛y|y≥－7/2｝。

點評：將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式，透過求出二次函式的最值，從而確定出原函式的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

練習：求函式y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．構造法

根據函式的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。

例3求函式y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

點撥：將原函式變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函式的值域。

解：原函式變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位

正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關係知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共

線時取等號。

∴原函式的知域為｛y|y≥5｝。

點評：對於形如函式y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可透過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習：求函式y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十．比例法

對於一類含條件的函式的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函式，進而求出原函式的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函式z=x2+y2的值域。

點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設定引數，代入原函式。

解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為引數)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。

函式的值域為｛z|z≥1｝.

點評：本題是多元函式關係，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，透過設引數，可將原函式轉化為單函式的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。

練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函式f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多項式的除法

例5求函式y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函式，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函式y的值域為y≠3的一切實數。

點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函式均可利用這種方法。

練習：求函式y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函式Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函式的反函式，根據自變數的取值範圍，構造不等式。

解：易求得原函式的反函式為y=log3[x/(1-x)],

由對數函式的定義知x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函式的值域（0，1）。

點評：考查函式自變數的取值範圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函式定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。

以下供練習選用：求下列函式的值域

1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）

2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

注意變數哦~