公式一：

設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

設α為任意角，π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α與 -α的三角函式值之間的關係：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α與α的三角函式值之間的關係：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

誘導公式記憶口訣

※規律總結※

上面這些誘導公式可以概括為：

對於k•π/2±α(k∈Z)的個三角函式值，

①當k是偶數時，得到α的同名函式值，即函式名不改變；

②當k是奇數時，得到α相應的餘函式值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇變偶不變）

然後在前面加上把α看成銳角時原函式值的符號。

（符號看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4•π/2－α)，k＝4為偶數，所以取sinα。

當α是銳角時，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符號為“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的記憶口訣是：

奇變偶不變，符號看象限。

公式右邊的符號為把α視為銳角時，角k•360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函式值的符號可記憶

水平誘導名不變；符號看象限。

各種三角函式在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四餘弦”．

這十二字口訣的意思就是說：

第一象限內任何一個角的四種三角函式值都是“＋”；

第二象限內只有正弦是“＋”，其餘全部是“－”；

第三象限內切函式是“＋”，弦函式是“－”；

第四象限內只有餘弦是“＋”，其餘全部是“－”．

上述記憶口訣,一全正,二正弦,三正切,四餘弦

其他三角函式知識：

同角三角函式基本關係

⒈同角三角函式的基本關係式

倒數關係:

tanα •cotα＝1

sinα •cscα＝1

cosα •secα＝1

商的關係：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方關係：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函式關係六角形記憶法

六角形記憶法：

構造以"上弦、中切、下割；左正、右餘、中間1"的正六邊形為模型。

（1）倒數關係：對角線上兩個函式互為倒數；

（2）商數關係：六邊形任意一頂點上的函式值等於與它相鄰的兩個頂點上函式值的乘積。

（主要是兩條虛線兩端的三角函式值的乘積）。由此，可得商數關係式。

（3）平方關係：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函式值的平方和等於下面頂點上的三角函式值的平方。

兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函式公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tana+tanB

tan（α＋β）＝——————

1－tanα •tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα •tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、餘弦和正切公式（升冪縮角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半形公式

⒋半形的正弦、餘弦和正切公式（降冪擴角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

萬能公式

⒌萬能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

萬能公式推導

附推導：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因為cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

然後用α/2代替α即可。

同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可透過正弦比餘弦得到。

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、餘弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)

tan3α＝——————

1－3tan^2(α)

三倍角公式推導

附推導：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式聯想記憶

記憶方法：諧音、聯想

正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負數)，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）

餘弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之後還有“餘”）

☆☆注意函式名，即正弦的三倍角都用正弦表示，餘弦的三倍角都用餘弦表示。

和差化積公式

⒎三角函式的和差化積公式

α＋β α－β

sinα＋sinβ＝2sin—----•cos—---

　 　2 2

α＋β α－β

sinα－sinβ＝2cos—----•sin—----

2 2

　 　α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----•cos—-----

2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----•sin—-----

2 2

積化和差公式

⒏三角函式的積化和差公式

sinα •cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα •sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα •cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα •sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化積公式推導

附推導：

首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了積化和差的四個公式以後,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.

我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那麼a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)