定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也作分解因式。
意義：它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用。學習它，既可以複習的整式四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、注意、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。
分解因式與整式乘法互為逆變形。
因式分解的方法
[編輯本段]
因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法。而在競賽上，又有拆項和添項法，待定係數法，雙十字相乘法，輪換對稱法,剩餘定理法,分組分解法等。
一常規方法
⑴提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。
如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)．
⑵運用公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫運用公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
其餘公式請參看上邊的圖片。
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(參看右圖)．
二非常規方法
⑶分組分解法
把一個多項式適當分組後，再進行分解因式的方法叫做分組分解法。
用分組分解法時，一定要想想分組後能否繼續完成因式分解，由此選擇合理選擇分組的方法，即分組後，可以直接提公因式或運用公式。
例如：m^2+5n-mn-5m=m^2-5m -mn+5n
= (m^2 -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)．
⑷拆項、補項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
也可以參看右圖。
⑸配方法
對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)．
⑹十字相乘法
這種方法有兩種情況。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
圖示如下：
·a b
· ×
·c d
例如：因為
·1 -3
·7 2
且2-21=-19，
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
多項式因式分解的一般步驟：
①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；
②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。”
幾道例題
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的過程也可以參看右圖。）
當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。
3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。
分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三條邊，
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0，
即a＝c，△ABC為等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
三特殊方法
⑺應用因式定理
對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
⑻換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
⑼求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，
則透過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
⑽圖象法
令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式影象與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。
例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6時，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.
作出其影象，與x軸交點為-3，-1，2
則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
⑾主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
⑿特殊值法
將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則
x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ．
注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，
則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。
⒀待定係數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
⒁雙十字相乘法
雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。用一道例題來說明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解：
x 2y 2
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
雙十字相乘法其步驟為：
①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也作分解因式。
意義：它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用。學習它，既可以複習的整式四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、注意、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。
分解因式與整式乘法互為逆變形。
因式分解的方法
[編輯本段]
因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法。而在競賽上，又有拆項和添項法，待定係數法，雙十字相乘法，輪換對稱法,剩餘定理法,分組分解法等。
一常規方法
[編輯本段]
⑴提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。
如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)．
⑵運用公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫運用公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
其餘公式請參看上邊的圖片。
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(參看右圖)．
二非常規方法
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⑶分組分解法
把一個多項式適當分組後，再進行分解因式的方法叫做分組分解法。
用分組分解法時，一定要想想分組後能否繼續完成因式分解，由此選擇合理選擇分組的方法，即分組後，可以直接提公因式或運用公式。
例如：m^2+5n-mn-5m=m^2-5m -mn+5n
= (m^2 -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)．
⑷拆項、補項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
也可以參看右圖。
⑸配方法
對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)．
也可以參看右圖。
⑹十字相乘法
這種方法有兩種情況。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
圖示如下：
·a b
· ×
·c d
例如：因為
·1 -3
· ×
·7 2
且2-21=-19，
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
多項式因式分解的一般步驟：
①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；
②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。”
幾道例題
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
也可以參看右圖。
2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的過程也可以參看右圖。）
當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。
3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。
分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三條邊，
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0，
即a＝c，△ABC為等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
也可以參看右圖。
三特殊方法
[編輯本段]
⑺應用因式定理
對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
⑻換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以參看右圖。
⑼求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，
則透過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
⑽圖象法
令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式影象與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。
例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6時，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.
作出其影象，與x軸交點為-3，-1，2
則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
⑾主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
⑿特殊值法
將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則
x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ．
注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，
則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。
⒀待定係數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以參看右圖。
⒁雙十字相乘法
雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。用一道例題來說明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解：
x 2y 2
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
雙十字相乘法其步驟為：
①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；