最好不要這樣表示。或者說，的寫法是錯的。它僅僅是作為形式記號，在字母i已經被使用（包括替代品j也被使用）的情況下藉以描述一下“-1的一個平方根”，除此以外沒有任何運算的意義。指的是滿足方程的一個根，至於是哪一個根，並不重要。我們只會用到的性質。此外，在複變函式中，一般冪函式（冪指數非整數的情況）是多值的。不信的話我們可以做這樣的公式推導：顯然是不對的。1.先看一般冪函式的定義：，其中k是一切整數。則：。有的教材自以為開根號能夠解決i是-1的“哪一個根”的問題，最後按照書上的定義倒是弄巧成拙了。2.指數乘法分配律在複數乘法下也不一定成立。最初 指 n 是正整數，它意思是正實數 x 自乘 n 次。由這定義推算，就有了指數運算律。對它們是其他數的適用性還需要證明。先看一下，怎麼從這自乘開始，延拓這個運算的。把正整數n固定， 仍然定義成 x 自乘 n 次，這叫冪函式。可以把冪函式自變數x的定義域延拓到複數域，定義,，同樣直接從定義就能證明非0複數的整數冪函式滿足指數運算律。從上面悖論等式看到，指數運算律不適用於分數冪函式。所以這方向的拓展到此為止。把指數運算中的 x 固定，限定為正實數，寫成引數 a，式子 稱為 a 為底的指數函式。從 y 為正整數開始，應用指數運算律和極限運算，可以把正實數底a的指數函式自變數 y 的定義域，從正整數延拓到實數。它也滿足全部的指數運算律。這時它的值域也是正實數，當底數 a 不是 1 時，這函式是單調的，反函式存在，就是對數。當 x 是正實數，y 是實數時，指數運算可以表示為 e 的指數函式的形式：。它們已是滿足指數運算律的冪函式和指數函式能夠拓展的極限了。所以二元的指數運算只有 x 的定義域為正實數，y 的定義域為實數時，得值是正實數，才有指數運算律。把 x 的 n 次冪的定義域延拓到包括負數與複數，所遇到問題的本質是在這定義域中，n 次方不是個一一對映，幾個不同自變數值可能對應於同一個函式值，當我們企圖將逆運算限制在某個分支的根，例如用主根，來定義 時，指數分配律和指數相乘律，都可能讓不同分支的根在自乘中等同起來。這產生了矛盾。而在複變函式論中，我們可以允許函式是多值的，其值表示為一個集合，兩個集合間的運算，定義為分別在兩個集合裡選取每個元素進行計算，其函式值是所有可能運算結果的集合。等式“=”定義為兩邊的集合相等。複數z可以用極座標來表示 。由尤拉公式，這個表示式可以寫成 。由此可以定義複數指數函式的反函式（）。這是將對數函式 ln z 擴充套件到複數域上的多值函式。注意，它不是延拓，延拓要保持原有變數和函式值的對應不變，將定義域擴充套件到沒有定義的地方。而這函式當變數是正實數時，並不等於相應的對數值，而是包括著它的一個集合。例如 .但以此我們可以定義複數域上的指數運算了。一般來說，這個指數的運算不再保持指數運算律了，只能看成一個多值的函式：不再有指數相加律和指數相乘律了（也即此處等號不再表示數值相等，而應當賦予集合的意義）。指數的有關運算性質在此處只是對（集合的描述法表示）形式上進行一定的化簡。