Wishart 分佈是用來描述多元正態樣本的協方差矩陣而引入的矩陣型隨機分佈，注意它是一個隨機矩陣，不是隨機變數。所以一般的多元統計書都是一筆帶過的。

從最簡單的Wishart分佈開始：

假設有m個獨立同分布的，也就是標準多元正態分佈， ，則稱V服從自由度為m的Wishart分佈，記做

稍微複雜點的：

假設有m個獨立同分布的 ，也就是中心化的多元正態分佈， ，則 ，多了一個用於描述多元正態分佈協方差陣的引數Σ

另一種定義方式：

Wishart分佈和樣本協方差陣的關係：

設n個獨立同分布的

，有統計量

那麼他們的分佈是

和

且二者獨立。

Inverse-Wishart分佈：

如果一個正定矩陣B的逆矩陣 服從Wishart分佈 ，那麼稱服從Inverse-Wishart分佈

Inverse-Wishart分佈常作為Bayes中多元正態分佈的協方差陣的共軛先驗分佈

假設獨立同分布的

，那麼後驗條件分佈

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回到原問題

第一題送分題。

第二題，注意到均值方差獨立，多元正態均值的共軛先驗分佈也是多元正態，那麼後驗分佈是第一個正態項，協方差陣剛才介紹了共軛後驗是逆威沙特分佈。

第三題，還需要介紹多元t分佈太浪費時間了，我直接把答案貼出來

參考： Murphy K P. Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution[J]. def, 2007, 1(2σ2): 16.