數學注重推理，也就是邏輯思維的培養；數學也是一門綜合類抽象學科，現在談一下，作為多年數學老師的我對數學的看法， 提問者說數學為什麼要證明，這要從我們丫丫學語開始，我們父母就開始教我們學習1個蘋果加一個蘋果，等於2個蘋果 ，這就一個一個加起來，這是一年級知識，證明題同樣也是這樣的，它上升到新的年齡段，那就是我們現在的初中生活，初中數學有一門課是幾何，他需要證明，證明題是培養邏輯思維的重要學科，由已知條件證明未知條件，等式是否成立等等，高中數學也是這樣， 而小學數學也是簡單思維邏輯培養的重要過程，由1＋1等於2，衍生到一個蘋果加2個蘋果，等於3個蘋果。教師在教學中用小棒，給學生比劃，一個一個數，來證明數學得數為什麼等於3.由此我們一年級數學出現了2.3.4.5.6.7.8.9.分成，同樣也是證明。數學這倆個我是這樣理解的，由學數數開始到學習邏輯的過程，也是由簡單到難的過程 。隨著年齡增長，我們思維也在逐漸完善，也就出現了證明題，除了抽象思維還有圖形證明，如等腰三角形，直角三角形等圖形。

數學為什麼熱衷於證明？對這個問題的回答應該從數學的實質回答。數學的實質是什麼呢？是邏輯。古代的人喜歡辯論，在辯論的基礎上形成一定的形式，這種形式構成數學的基礎，增加數的成分，形成數學的基礎。數學的最大特徵是自圓其說，典型的代表是幾何，就是建立在公理體系上的自圓其說。要說明自己的結論是正確的，必須以嚴格的邏輯推理說明，沒有了嚴格的準確的邏輯推理證明，哪怕有很多事實的驗證，整個理論體系就沒有根源。一個理論體系沒有根源，就喪失了存在的合理性，對實際的影響就可以忽略了。

看了大家的回答，好像都沒有追根溯源發掘最深層次的原因。現在我補充一下這方面的內容吧。

要想弄明白為什麼數學熱衷於證明，首先要釐清兩個問題。

第一個問題，數學是什麼?

可以說，數學最早是為了解決準確計量物品這一問題的，別人借了我幾個土豆呢？我們拿多少羊去跟他們換麥子呢？

隨著人類的認知不斷升級，數學開枝散葉，慢慢變得保羅永珍：數論、平面幾何、立體幾何、微積分、線性代數、模糊數學、機率與數理統計。到現在，數學已經發展成為人類研究世界執行規律、探索未知世界的最主要手段。

航母造多大？需要數學計算。火箭帶多少燃料？需要計算。今年印多少鈔票？需要計算。雙十一準備多少存貨？需要計算。這篇問答推送給哪些人閱讀？需要計算。

（一）證明是為了驗證一個猜測是否準確。

我們現有的各種公理、各種公式，都是已經被數學家們證明為絕對正確的。這些存量的工具，是對現行世界規律的高度精簡、高度模型化。用各種公理、公式推匯出來的東西，自然也是準確無誤的。所以，如果我們能用數學公式推導、證明高鐵的執行時刻表是正確的，那就可以不用從無數次撞車中，總結出一個不撞車的高鐵執行時刻表。這是“數學熱衷於證明”的第一個意義，解決已知世界的問題。

（二）證明是為了保證一個新的推理方式絕對正確。

與無限未知世界相比，人類的已知是有限的。所以，我們熱衷於用數學證明，還有一個更重要的目的——探索未知世界。比如，愛因斯坦，用數學公式發現了原子能，用數學公式推導證明出“引力波”，如果愛老伯伯能用數學公式完成統一場的證明，那麼人類世界會發生翻天覆地的變化。這是“數學熱衷於證明”的第二個意義，探索未知世界。

第二，人類認識世界的最主要方法是什麼？

大家有沒有想過一個問題，我們從猴子變過來，是怎樣一步步認識這個世界的呢？

西方哲學家總結，人類認識世界的最主要方法是“歸納法”。舉個栗子！昨天太陽從東邊出來，今天太陽從東邊出來，所以，哦，明天太陽也會從東邊出來。

“歸納法”我們對世界認識的一個總結，然後得出一個可以預測未來的結論。

實際上，這就是數學思維。

實際上，“明天太陽依然會從東邊出來”就是我們熱衷於“證明”的表現。

這樣的證明，我們人類玩了不止五千年了，可以說人類的知識來自於不斷的證明。

真理是實踐檢驗、證明出來的。

正是因為人類熱衷於這樣的證明，藍色星球才變得如此繁榮。

永無止境的話題

實際上，遠遠不止數學熱衷於證明。

人類熱衷於證明是全方位的。

我們無時不刻在證明自己：升職了，證明我的努力是對的。我獻上鮮花，想證明我是愛你的。......

仔細想想，“摸著石頭過河”是不是證明？過了河就證明了我們走的路是對的。過了河就有了道路自信、理論自信、制度自信、文化自信。

美國數學家波利亞（G.Polya）說：“數學家與自然科學家在研究方法上是截然不同的；觀察對自然科學家來說是可信的方法，但對數學家來說卻並非如此。選擇恰當的例項進行檢驗，這是生物學家肯定猜想規律的唯一方法，但是對於數學家來說，選擇恰當的例項進行驗證，從鼓勵信心的角度來看是有用的，但這樣還不能算是數學科學裡證明了一個猜想。經驗的歸納只能說明所得結論可能成立，但並不能證明它一定可靠。” 對上面的費馬數 是否是素數的問題，你也許會說實驗次數太少了，只做了5次就下結論，所以出錯了，事實上，有的數學命題，做一輩子實驗都得出同樣的結論，仍然不能下結論，例如： 實驗結果為 ，實驗了10⊃1;ººº次都是1，實驗次數不可謂不多，寫出實驗的結果每秒鐘寫一個，一輩子也寫不完，你能宣佈 嗎？（小編注：“≡” 是恆等於符號）你看 單靠多實驗來保證數學結論的正確性可能是靠不住的。 事實上，作為嚴密科學的數學，它的定理不允許有一個反例。自然科學則不然，例如觀察了大量的鳥類都會飛之後，可以得出“鳥類會飛”的結論，不怕駝鳥不飛這一反例的存在，自然科學追求的往往是絕大多數情況下成立的結論。 上面我們講了許多關於經驗歸納在數學中不怎麼管用的話，但由經驗歸納推廣完備起來的數學歸納法卻是一種有效的證明方法。事實上，若有一個與自然數有關的命題串 ，即欲證n=1時，P₁ 成立，n=2時，P₂ 成立，…，對一切自然數n，皆成立，只需驗證開始的少數幾個命題 成立，一般P₁ 成立就夠了，這叫歸納法起步，然後假設對於n≥k，已成立，再透過正確的邏輯推導，在歸納法假設的前提下，證出 仍成立，就可以保證對一切自然數皆成立。這種歸納過程與經驗歸納的有限例證有本質的區別，數學歸納法是說前面的命題（命題 ）已成立之後，若新增下一個命題，仍然成立，於是，新增下去總能成立，豈不是永遠成立這一規律了嗎？所以，數學歸納法也稱為科學歸納法或完全歸納法。 數學證明中還有一種強有力的證法，叫反證法。故意說在定理條件下原結論不成立，用正確的邏輯手段找出這一“故意反對”與定理的條件或其他已有事實不相容的矛盾，從而得出在定理條件下，定理的結論不成立不行的欲證結論。這種反證的思想方法在日常生活或自然科學及至社會科學當中，也多采用，但那些領域中的反證法與數學當中仍有區別，例如“凡鳥皆飛”這一命題用反證法就不合適，鴕鳥不飛不能引出矛盾。數學禁止它的定理出現反例，所以數學定理經得起反證的考驗。 數學的證明最常見的是從已知透過正確的邏輯判斷直接推匯出結論的所謂演繹證明。在對具體問題的證明當中，也可針對其特點，把演繹、反證、數學歸納聯合施用或施用這三種一般方法的變種。 對一個數學定理給出證明，還可以幫助我們理解定理，看透哪個條件的作用大，哪個條件是次要的，是否可以把條件放寬一些，結論是不等式時，是否可以把上界變小一些，把下界放大一些，等等，進而發現改進和推廣該定理的思路；或發現原證明方法不夠美，設計出更簡潔漂亮的證明。 數學證明中的挫折和失敗往往引出有價值的數學成果，例如四色猜想，歷史上多少名人屢證屢錯，但確引出了色交換技術和色多項式等精彩的圖論成果。在數學史上一個極重大的事件是對歐幾里得第五公設的證明，到19世紀，幾乎每個大數學家都曾染指於此，無奈大家都失敗了，引起大家對第五公設是否是真理的考慮，1759年，法國數學家達朗貝爾稱歐氏平行公理是“幾何原理中的家醜”，數學家M.克萊因則說：“簡而言之，歐幾里得的著作有著糟糕之極的缺陷。”鑑於上述證明的受阻，數學家們（例如高斯和羅巴切夫斯基）萌生了否定歐氏第五公設重建新幾何的念頭，非歐幾何終於誕生。 非歐幾何中用羅巴切夫斯基公理替代歐氏平行公理之後，建立的幾何系統是相容的，即該系統不存在自相矛盾的結論，但由於長期找不到物質世界的相應模型，以至使其被冷落了一百多年，在這一困難時期，數學界無人相信非歐幾何存在物理意義，甚至連對非歐幾何的相容性作出了嚴格論證的F.克萊因、凱萊等大數學家仍然認為唯有歐氏空間才是宇宙的基本空間。直到20世紀相對論建立並應用了非歐幾何，這一危機才得以解決。可見嚴格的數學證明是必要的，但還要獲得實踐的接受。不然就用可能被人視為“合乎邏輯的胡說”。 * 本文節選自《數學誌異》，王樹和著，科學出版社。

到了大學階段，偏計算題會被認為在考高數，在考察工科學生，而不像是考數學系學生。證明題能夠很好的反應你對定義定理的理解程度，需要實打實的數學基礎和底蘊，而計算題有固定方法，可以考前突擊。最後，基礎數學中的許多課程沒辦法出計算，抽象的概念不能透過計算來表達，比如近世代數，實變函式等，老師想出計算題也難呀，只好全出證明題了

數學嚴密體系建立的需要

數學是研究數量、結構、變化及資訊的一門學科。人類產生之初，透過勞動使工作效率提升進而產生更多的物質。物質一多，計數就應運而生，所以我們去看人類發展史可以看到，數學的發展由結繩計事到符號再到運算，都是直接與生活實際息息相關的，掌握一定的數學知識對生活確實是有很大幫助的。

然而，數學發展又遠遠超越平日普通生活，例如無理數的發現、虛數產生都在當時引起不小的爭議，無數數學家都不敢確定。這時候光爭論、打嘴仗是沒有用的，只能藉助嚴密數學證明來說明問題，透過證明不僅可以讓新的數學概念得以發展並應用，還能給以前的數學體系漏洞打上補丁，例如算術公理體系是在1889年才由義大利數學家皮亞諾才建立，才使得使用幾千年的算術嚴密化，使得1+1=2有理可依。不要覺得這個工作好像沒有意義，其實在數學上意義重大，它的建立使得很多內容有了基石，促進數學發展通向更深層次。

數學說到底是人類思維的產物，不僅需要嚴密的體系，還需要符合最基本的邏輯。這樣的話，只有嚴密的證明才具備邏輯性，才能在數學體系下自圓其說。否則就很難再往下走得更遠，因為再往下走還是繞不開一些結論的證明。例如黎曼猜想，以之為前提的結論有一千多條，如果不能夠嚴格的將黎曼猜想證明出來，那這和千多條結論否正確還不知道，後面再想發展面臨巨大的風險，最終還是繞不開它的證明，所以不是數學熱衷於證明，而是數學自身發展的切實需要。

一個世紀難題的證明通常伴隨著數學的幾個子學科的發展，這樣講的話，證明其實除了證實或者證偽之外，還對數學的發展起到促進作用。例如最令我們熟知的歐氏幾何的五條公理中，最後一條一直存在爭議，而在證明過程中直接導致非歐幾何的產生，其中的羅氏幾何、黎曼幾何成為其子學科，這些子學科的發展對物理學天文學起一個促進作用。從這個角度看，證明確實是非常有必要的而且是非常重要的。

我覺得首先因為需要證明才有了證明，比如最開始的1+1等於2，證明得到了2+2等於4.繼續證明得到了2*2等於4，繼續證明2的2次方等於4，然後在生產實踐經常碰到2的2次方的情況，就可以直接呼叫，2的2次方等於4.而不用每次碰到.都是從1加1開始推，從而節省大量的計算資源，提高了效率。

我教數學10年得出結論，

數學證明思維培養一個人的邏輯思維能力。

公安，檢察院，法院，都需要證據證明才可以定罪。

歷史證明資本主義路在中國走不通。

物理證明牛頓定律，萬有引力。衛星可以上天，我們可以上網玩手機。

化學證明原子能聚變，導致日本加速投降，二戰結束。

生物證明進化論，研發了疫苗，預防疾病，延遲衰老。

總結，不僅數學熱衷於證明，凡是科學都需要證明，才可以定論。後人才能敢用結論繼續研究向前進。

一句話，沒有證明就沒有結論。沒有結論，一直徘徊不前。

數學是一門嚴謹論證，推理，邏輯性較強的學科，它的每一個概念，定義和定理要️準確的描述，幾乎達到咬文嚼字的程度，既要表達準確，同時還要防止產生異義，引起人們的爭論，因此數學上每發現一個定理，都要經過人們嚴格的證明！特別是數學家發現了某個重要結論，當時在相當長的時間內，️的還是️法證明它到底是真命題，還是假命題！這裡最具️代表性的一個例子是：質數（素數）的表示式（通項公式）F（n）＝2^2⃣️^n－1，長期以來，人們認為這個式子是＂正確＂的，但是後來我們發現這個式子是錯誤的！

在數學史上，許許多多數學家，學者，教授都想攻克哥德巴赫猜想，都想摘下數學這顆璀璨的明珠！中國數學家陳景潤花盡了畢生精力，只證明到了＂1＋2＝3＂，僅距哥德巴赫猜想只是一步之遙（1＋1＝2）！這個猜想是何等的難以證明？！因為這個猜想觸及到了數學的根基：數學最開始，最原始的規定就是1＋1＝2，由它逐漸擴通，變換……而後產生一糸列的數學分支體糸，猶如一顆參天大樹，它的根基就是＂1＋1＝2，數學️論怎麼發展下去，它的所有分支體糸的理論（或者是定理）回過頭來都要能夠證明它的最原始的公理，即由A推導B，由B推導A，A與B兩者都是正確的，能夠互相推導，互相證明，這才體現數學的嚴謹性！因此人們常說：＂1＋1＝2，它既是公理，同時又是定理＂。

學說到底是人類思維的產物，不僅需要嚴密的體系，還需要符合最基本的邏輯。這樣的話，只有嚴密的證明才具備邏輯性，才能在數學體系下自圓其說。否則就很難再往下走得更遠，因為再往下走還是繞不開一些結論的證明。例如黎曼猜想，以之為前提的結論有一千多條，如果不能夠嚴格的將黎曼猜想證明出來，那這和千多條結論否正確還不知道，後面再想發展面臨巨大的風險，最終還是繞不開它的證明，所以不是數學熱衷於證明，而是數學自身發展的切實需要。

一個世紀難題的證明通常伴隨著數學的幾個子學科的發展，這樣講的話，證明其實除了證實或者證偽之外，還對數學的發展起到促進作用。例如最令我們熟知的歐氏幾何的五條公理中，最後一條一直存在爭議，而在證明過程中直接導致非歐幾何的產生，其中的羅氏幾何、黎曼幾何成為其子學科，這些子學科的發展對物理學天文學起一個促進作用。從這個角度看，證明確實是非常有必要的而且是非常重要的。