兩直線方程其實可以分成兩類看：相互平行，相交，異面。

如果是相加的話，其實相當於是取兩條直線的中間線（或者說角平分線），如果把這兩條直線看做過某一點的向量的話，更容易看出來這個本質。

但是如果是相乘的話，相交的兩個直線更像是1維影象變2維影象似的（有點類似物理當中的V-t圖變為a-t圖這樣的變化）

注：V-t圖即速度與時間的圖線，a-t圖即為加速度與時間的圖線。

這個問問題的存在事，只能給你講解主要的抽象於理性的叫事認，是數變術變易變陰陽變的過程出流程的認識作主要素於自然選擇對平衡了的度、來代表於相形的變要素過程得存在時事，並不是作一個概念基點總項耒對比跡自然道的存在所，也是人一出純思維出純社會學的比雜……。

祝你順心如意，心身安康有福！

先從最簡單的幾何圖形：直線，分析起。在中學的《平面解析幾何》中，一條直線的方程，不管是點斜式：

y - y₁ = k(x - x₁) ⇒ kx - y + (y₁ - kx₁) = 0

還是斜截式：

y = kx + b ⇒ kx - y + b = 0

還是截距式：

x/a + y/b = 1 ⇒ bx - ay + ab = 0

亦或是兩點式：

(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁) ⇒ (y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + (x₂y₁ - x₁y₂) = 0

都可以變換成一般式：

ax + by + c = 0

將直線一般式方程的等式左邊，單獨拿出來，寫成如下形式：

f(x, y) = ax + by + c

這顯然是一個二元函式，更準確的說，這是一種特殊的 二元函式，稱為 （二元）多項式，ax，by 或 c 稱為 多項式 的一個單項，x，y 稱為變元，a，b，c 稱為係數，特別地稱 c 為常數項。

當係數 a，b，c 確定後，我們可以 在立體空間中 繪製出 多項式 f(x, y) 的圖形，例如，f(x, y) = x + 2y + 3：

從圖中看出 f(x, y) 是一個平面，該平面 與 XY 座標平面的 交線，保證了 f(x, y) = 0，於是這條交線 就是 直線： x + 2y + 3 = 0。

代數上稱，保證多項式 f(x, y) = 0 的點為 多項式的過零點。這說明 幾何上的 直線，僅僅是 多項式的 全體過零點，進而，我們只要將 多項式 的 加減乘除搞清楚了，那麼 作為多項式的全體過零點 的 直線 的加減乘除 自然就搞清楚了。

設，任意兩個直線對應的 多項式為：

f₁(x, y) = a₁x + b₁y + c₁

f₂(x, y) = a₂x + b₂y + c₂

它們之間的加減為：

f(x, y) = f₁(x, y) ± f₂(x, y) = (a₁x + b₁y + c₁) ± (a₂x + b₂y + c₂) = (a₁ ± a₂)x + (b₁ ± b₂)y + (c₁ ± c₂) = ax + by + c, (a = a₁ ± a₂, b = b₁ ± b₂, c = c₁ ± c₂)

顯然 f(x, y) 依然是 直線對應的 多項式，因此可以得出結論 1：

兩個直線之和（差）依然是直線

例如，f₁(x, y) = x + 2y + 3 = 0 與 f₂(x, y) = 3x + 2y + 1 = 0 之和 f(x, y) = 4x + 4y + 4 = 0 , 繪製出來如下：

我們可以看出，相加之後的直線 必然經過 原來兩直線的交點（假設 原來兩條直線 相交）。這是因為，交點 同時滿足 f₁(x, y) = 0 和 f₂(x, y) = 0，所以必然滿足 f₁(x, y) + f₂(x, y) = 0。直線相減也一樣。

注意：兩條直線相加減得到的直線，不一定是角平分線。因為：

從 a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0，可以 得到 f₁(x, y) 與 f₂(x, y) 的交點為：

x₀ = (a₂c₁ - a₁c₂) / (a₂b₁ - a₁b₂)

y₀ = (b₂c₁ - b₁c₂) / (b₂a₁ - b₁a₂)

而 (b₁, a₁ + c₁/b₁) 和 (b₂, a₂ + c₂/b₂) 分別是 f₁(x, y) 與 f₂(x, y) 上的點，於是可以分別求出 f₁(x, y) 與 f₂(x, y) 的單位方向向量：

v₁ = ((b₁ - x₀)/r₁, (a₁ + c₁/b₁ - y₀)/r₁) ， r₁ = √[(b₁ - x₀)² + ( a₁ + c₁/b₁ - y₀)²]

v₂ = ((b₂ - x₀)/r₂, (a₂ + c₂/b₂ - y₀)/r₂) ， r₂ = √[(b₂ - x₀)² + ( a₂ + c₂/b₂ - y₀)²]

進而 兩條角平分線上的向量為：

r((b₁ - x₀)/r₁ ± (b₂ - x₀)/r₂, (a₁ + c₁/b₁ - y₀)/r₁ ± (a₂ + c₂/b₂ - y₀)/r₂)

於是得到 角平分線 方程：

(x - x₀)/(y - y₀) = [(b₁ - x₀)/r₁ ± (b₂ - x₀)/r₂] / [(a₁ + c₁/b₁ - y₀)/r₁ ± (a₂ + c₂/b₂ - y₀)/r₂] = [(b₁ - x₀)r₂ ± (b₂ - x₀)r₁] / [(a₁ + c₁/b₁ - y₀)r₂ ± (a₂ + c₂/b₂ - y₀)r₁]

(x - x₀)[(a₁ + c₁/b₁ - y₀)r₂ ± (a₂ + c₂/b₂ - y₀)r₁] = (y - y₀)[(b₁ - x₀)r₂ ± (b₂ - x₀)r₁]

這個與兩個直線相加減的結果：

(a₁ ± a₂)x + (b₁ ± b₂)y + (c₁ ± c₂) = 0

相去甚遠。即便是，兩條直線的交點是原點，即， c₁ = c₂ = x₀ = y₀ = 0，角平分線 方程，可化簡為：

(a₁r₂ ± a₂r₁)x = (b₁r₂ ± b₂r₁)y

這和 兩個直線相加減的結果：

(a₁ ± a₂)x + (b₁ ± b₂)y = 0

依然有出入。

任意兩個直線相乘為：

g(x, y) = f₁(x, y) ⋅ f₂(x, y) = (a₁x + b₁y + c₁) ⋅ (a₂x + b₂y + c₂) = a₁a₂x² + (a₁b₂ + b₁a₂)xy + a₁c₂x + b₁b₂y² + c₁b₂y + c₁c₂ = ax² + bxy + cx + dy² + ey + f, (a = a₁a₂, b = a₁b₂ + b₁a₂, c = a₁c₂x, d = b₁b₂, e = c₁b₂, f = c₁c₂)

顯然，g(x, y) 已經不是 直線對應的 多項式了，但 g(x, y) 依然是 多項式。

任意一個（二元）多項式 h(x, y) 的單項一般形式為：axⁿyᵐ (n, m ≥ 0)，我們稱 n+m 為 該項的 次數，h(x, y) 中所有單項次數的最大值，稱為 h(x, y) 的次數，記為 deg(h)。

於是，前面 deg(f) = 1 ，即，直線對應 一次多項式，這裡 deg(g) = 2， g 是二次多項式， 不是直線對應的。

進一步我們不難發現：

g(x, y) = f₁(x, y) ⋅ f₂(x, y) = 0 當且僅當 f₁(x, y) = 0 或 f₂(x, y) = 0

於是我們有如下結論 2：

兩個直線相乘結果就是兩條直線的並

例如，f₁(x, y) = x + y = 0, f₂(x, y) = x - y = 0, g(x, y) = f₁(x, y) ⋅ f₂(x, y) = x² - y² = 0：

接下來，暫時不考慮直線之間的除法問題，讓我們分析一下更復雜的 幾何圖形。

中學《平面解析幾何》內容中，除了 直線 還有 圓錐曲線。一個圓錐曲線方程，不管是圓：

x² + y² = r² ⇒ x² + y² - r² = 0

還是橢圓：

x²/a² + y²/b² = 1 ⇒ b²x² + a²y² - a²b² = 0

還是雙曲線：

x²/a² - y²/b² = 1 ⇒ b²x² - a²y² - a²b² = 0

亦或是拋物線：

y² = 2px ⇒ 2px - y² = 0

它們都可以變換為符合 g(x, y) 的形式。可見 圓錐曲線的多項式 與 兩個直線多項式相乘 的結果同屬於一類，即，二次多項式。

顯然，二次多項式的 加減 依然是 二次多項式。那麼二次多項式之積呢？我們有如下定理：

對於任意次多項式 h₁, h₂，有 deg(h₁⋅h₂) = deg(h₁) + deg(h₂)

於是，兩個 二次多項式 g₁, g₂ 相乘，有 deg(g₁⋅g₂) = deg(g₁) + deg(g₂) = 2 + 2 = 4，即，得到一個 四次多項式，另外，一個二次多項式 g 和 一個 一次多項式 f 相乘，有 deg(g⋅f) = deg(g) + deg(f) = 2 + 1 = 3，即，得到一個 三次多項式。

以上的結果，還可以相互相乘，於是透過不斷的做乘法，可以得到任意次多項式。我們將全體（二元）多項式，記為 R[x, y]，其中 R 表示 實數域，意思是 多項式的 係數 是 實數，x, y 表示變元。

這樣以來，上面的 f(x, y) 、g(x, y) , ... 通通都是 R[x, y] 的元素。另外，正整數冪函式 (n > 1) ：

y = xⁿ ⇒ xⁿ - y = 0

對應的多項式 g(x) = xⁿ - y ，也是 R[x, y] 的元素。

為了方便，我們將 XY 平面，記為 A² ，並稱為 （二維）仿射空間。對於 任意 h(x, y) ∈ R[x, y]，將 h 的全體過零點，記為 Z(h)，即有，

Z(h) = {(x, y) ∈ A² | h(x, y) = 0 }

則，Z(h) 一定是 XY 平面 中的 某個平面幾何圖形。

可以對結論2進行擴充套件得到結論 2’：

任意 多形式對應的平面幾何圖形 Z(h₁) 和 Z(h₂) 之積 Z(h₁⋅h₂) 是它們的並，即， Z(h₁⋅h₂) = Z(h₁) ∪ Z(h₂)

下面就剩下上面遺留的除法問題了。

在 R[x, y] 中，除法不同於 加減乘。對於 任意 多項式 h₁, h₂ ∈ R[x, y]，顯然 h₁ + h₂, h₁ - h₂, h₁⋅h₂ 依然 屬於 R[x, y]，稱這為 R[x, y] 對 加減乘 運算封閉，而 h₁/h₂ 就不一定 屬於 R[x, y] 了。

看到這裡，對數學敏銳的劇友，就會發現 R[x, y] 和 整數集（記為 Z）有相似的特性，Z 也是 對 加減乘 運算封閉 對 除法不封閉。

而我們知道，任意兩個 整數 p, q (q ≠ 0) ∈ Z，相除就會得到一個 有理數 p/q， 全體有理數，記為 Q。仿照這種做法，我們稱任意兩個 多項式 h₁, h₂ ∈ R[x, y]，相除的結果 h₁/h₂ 為 有理函式（也叫，有理分式），全體 有理函式，記為 R(x, y)。就和 Z 是 Q 的一部分一樣，R[x, y] 也是 R(x, y) 的一部分。

這樣，我們就從 R[x, y] 擴充到 R(x, y) ，得到了一個 對 加減乘除封閉的 集合，其中的元素的全體過零點，也包括了更廣泛的 平面幾何圖形。例如：負整數冪函式。

到此，我們基本上討論了常見的 平面幾何圖形 的四則運算，當然，對於 小數冪函式，三角函式，指數函式，對數函式，甚至更 複雜的 超越函式，之間的運算，無非是 將 R(x, y) 繼續擴大 到 函式空間 Lᵖ，以支援 開方、三角、指數、對數、微積分 等運算，這會涉及到《泛函分析》的數學知識，這裡篇幅有限，我們不能進一步展開討論。

最後，對於立體幾何圖形，比如，空間直線： ax + by + cz + d = 0，對應的多項式，如：t(x, y, z) = ax + by + cz + d，稱為 （三元）多項式，全體 （三元）多項式，記為 R[x, y, z]。 立體幾何圖形，是 存在於 四維空間中 XYZW 中的多項式 t(x, y, z) ∈ R[x, y, z]，在 超平面 XYZ （記為 A³，稱為 三維仿射空間） 中 的 全體過零點 Z(t)。

進而，我們可以將 考慮 直線上的 點組成的圖形，比如： ax + b = 0，對應的 多項式，如：s(x) = ax + b，稱為 （一元）多項式，全體 （三元）多項式，記為 R[x]。這些點圖形，存在 於二維平面 XY 中多項式 s(x) ∈ R[x]， 在 次平面 X（記為 A¹，稱為一維仿射空間）中的 全體過零點 Z(s)。

甚至，對於 n維幾何圖形，比如：n維空間直線：a_nx_n + ... + a₁x₁ + a₀ = 0，對應的 多項式，如：u(x₁, ..., x_n) = a_nx_n + ... + a₁x₁ + a₀ ，稱為 （n元）多項式，全體 （n元）多項式，記為 R[x₁, ..., x_n]。這些 n維幾何圖形，存在 於n+1維空間中的 多項式 u(x₁, ..., x_n) ∈ R[x₁, ..., x_n] ，在 n維超平面（記為 Aⁿ，稱為 n維仿射空間） 中的 全體過零點 Z(u)。

注意：將幾何圖形看做多項式的零點集合，可不僅僅是 “將貓叫了個貓咪”。例如，有了這個數學思想，我們可以很方便的定義，多個幾何圖形 Z(h₁) , Z(h₂), ..., Z(h_n) 的 交為：

Z(T) = {P ∈ Aⁿ | 任意 h ∈ T 都有 h(P) = 0 } (T= {h₁, h₂, ..., h_n})

到這裡小石頭的回答，就告一段落了。關於 仿射空間 Aⁿ 還有許多許多有趣的內容，其中包括著名的 希爾伯特零點定理，這裡真是不能再展開了，以後有機會，小石頭再寫給大家。