正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。

行向量皆為正交的單位向量，任意兩行正交就是兩行點乘結果為0，而因為是單位向量，所以任意行點乘自己結果為1。

對於3x3正交矩陣，每行是一個3維向量，兩個3維向量正交的幾何意義就是這兩個向量相互垂直。

所以3x3正交矩陣的三行可以理解為一個3D座標系裡的三個座標軸，下面是3*3正交矩陣M，

單位矩陣表示的三個座標軸就是笛卡爾座標系裡的x,y,z軸：

一個向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義就是把這個向量從當前座標系變換到這個矩陣所表示的座標系裡，比如下面的矩陣M1，

一個向量(1, 2, 3)右乘這個矩陣M1得到新的向量(2, 1, 3)，就是把原向量從原座標系變換到一個新的座標系。

新座標系的x軸在原座標系裡是(0,1,0)，即落在原座標系的y軸上，

新座標系就是把原座標系的x和y軸對調，所以這個正交矩陣M1作用於向量(1,2,3)後把向量的x和y分量對調了。

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正交矩陣的定義“行向量和列向量皆為正交的單位向量”帶來了另一個好處：正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。

下面解釋一下 為什麼正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆：

還是開頭說的正交矩陣M：

每行都是單位長度向量，所以每行點乘自己的結果為1。

任意兩行正交就是兩行點乘結果為0。

矩陣M的轉置矩陣MT是：

兩個矩陣相乘 Mmul = M * MT：

點乘自己結果為1，點乘別的行結果為0，所以Mmul等於單位矩陣

逆矩陣的定義就是逆矩陣乘以原矩陣等於單位矩陣，所以，

正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆。