最常見的公式：(如果你覺得很煩,看公式就可以了) W = [Y-1] + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D Y是年份數，D是這一天在這一年中的累積天數，也就是這一天在這一年中是第幾天。 最好用的是蔡勒公式： W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1 C是世紀數減一，y是年份後兩位，M是月份，d是日數。1月和2月要按上一年的13月和 14月來算，這時C和y均按上一年取值。 兩個公式中的[...]均指只取計算結果的整數部分。算出來的W除以7，餘數是幾就 是星期幾。如果餘數是0，則為星期日。 --------------------------------------------------------------------------- 星期制度是一種有古老傳統的制度。據說因為《聖經·創世紀》中規定上帝用了六 天時間創世紀，第七天休息，所以人們也就以七天為一個週期來安排自己的工作和生 活，而星期日是休息日。從實際的角度來講，以七天為一個週期，長短也比較合適。所 以儘管中國的傳統工作週期是十天（比如王勃《滕王閣序》中說的“十旬休暇”，即是 指官員的工作每十日為一個週期，第十日休假），但後來也採取了西方的星期制度。 在日常生活中，我們常常遇到要知道某一天是星期幾的問題。有時候，我們還想知 道歷史上某一天是星期幾。通常，解決這個方法的有效辦法是看日曆，但是我們總不會 隨時隨身帶著日曆，更不可能隨時隨身帶著幾千年的萬年曆。假如是想在計算機程式設計中 計算某一天是星期幾，預先把一本萬年曆存進去就更不現實了。這時候是不是有辦法通 過什麼公式，從年月日推出這一天是星期幾呢？ 答案是肯定的。其實我們也常常在這樣做。我們先舉一個簡單的例子。比如，知道 了2004年5月1日是星期六，那麼2004年5月31日“世界無煙日”是星期幾就不難推算出 來。我們可以掰著指頭從1日數到31日，同時數星期，最後可以數出5月31日是星期一。 其實運用數學計算，可以不用掰指頭。我們知道星期是七天一輪迴的，所以5月1日是星 期六，七天之後的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍數。同樣，5月15 日、5月22日和5月29日也是星期六，它們的日期和5月1日的差值分別是14、21和28，也 都是7的倍數。那麼5月31日呢？31-1=30，雖然不是7的倍數，但是31除以7，餘數為2， 這就是說，5月31日的星期，是在5月1日的星期之後兩天。星期六之後兩天正是星期一。 這個簡單的計算告訴我們計算星期的一個基本思路：首先，先要知道在想算的日子 之前的一個確定的日子是星期幾，拿這一天做為推算的標準，也就是相當於一個計算的 “原點”。其次，知道想算的日子和這個確定的日子之間相差多少天，用7除這個日期 的差值，餘數就表示想算的日子的星期在確定的日子的星期之後多少天。如果餘數是 0，就表示這兩天的星期相同。顯然，如果把這個作為“原點”的日子選為星期日，那 麼餘數正好就等於星期幾，這樣計算就更方便了。 但是直接計算兩天之間的天數，還是不免繁瑣。比如1982年7月29日和2004年5月 1日之間相隔7947天，就不是一下子能算出來的。它包括三段時間：一，1982年7月29 日以後這一年的剩餘天數；二，1983-2003這二十一個整年的全部天數；三，從2004年 元旦到5月1日經過的天數。第二段比較好算，它等於21*365+5=7670天，之所以要加 5，是因為這段時間內有5個閏年。第一段和第三段就比較麻煩了，比如第三段，需要把 5月之前的四個月的天數累加起來，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第 一段需要把7月之後的五個月的天數累加起來，再加上7月剩下的天數，一共是155天。 所以總共的相隔天數是122+7670+155=7947天。 仔細想想，如果把“原點”日子的日期選為12月31日，那麼第一段時間也就是一個 整年，這樣一來，第一段時間和第二段時間就可以合併計算，整年的總數正好相當於兩 個日子的年份差值減一。如果進一步把“原點”日子選為公元前1年12月31日（或者天文 學家所使用的公元0年12月31日），這個整年的總數就正好是想算的日子的年份減一。這 樣簡化之後，就只須計算兩段時間：一，這麼多整年的總天數；二，想算的日子是這一 年的第幾天。巧的是，按照公曆的年月設定，這樣反推回去，公元前1年12月31日正好是 星期日，也就是說，這樣算出來的總天數除以7的餘數正好是星期幾。那麼現在的問題就 只有一個：這麼多整年裡面有多少閏年。這就需要了解公曆的置閏規則了。 我們知道，公曆的平年是365天，閏年是366天。置閏的方法是能被4整除的年份在 2月加一天，但能被100整除的不閏，能被400整除的又閏。因此，像1600、2000、2400 年都是閏年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公曆也是閏年。 因此，對於從公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之間的所有整年 中的閏年數，就等於 [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]， [...]表示只取整數部分。第一項表示需要加上被4整除的年份數，第二項表示需要去掉 被100整除的年份數，第三項表示需要再加上被400整除的年份數。之所以Y要減一，這 樣，我們就得到了第一個計算某一天是星期幾的公式： W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1) 其中D是這個日子在這一年中的累積天數。算出來的W就是公元前1年（或公元0年）12月 31日到這一天之間的間隔日數。把W用7除，餘數是幾，這一天就是星期幾。比如我們來 算2004年5月1日： W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] + (31+29+31+30+1) = 731702， 731702 / 7 = 104528……6，餘數為六，說明這一天是星期六。這和事實是符合的。 上面的公式(1)雖然很準確，但是計算出來的數字太大了，使用起來很不方便。仔 細想想，其實這個間隔天數W的用處僅僅是為了得到它除以7之後的餘數。這啟發我們是 不是可以簡化這個W值，只要找一個和它餘數相同的較小的數來代替，用數論上的術語 來說，就是找一個和它同餘的較小的正整數，照樣可以計算出準確的星期數。 顯然，W這麼大的原因是因為公式中的第一項(Y-1)*365太大了。其實， (Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1) = (Y-1) * (7*52+1) = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)， 這個結果的第一項是一個7的倍數，除以7餘數為0，因此(Y-1)*365除以7的餘數其實就 等於Y-1除以7的餘數。這個關係可以表示為： (Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)． 其中，≡是數論中表示同餘的符號，mod 7的意思是指在用7作模數（也就是除數）的情 況下≡號兩邊的數是同餘的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，這樣我們就得到 了那個著名的、也是最常見到的計算星期幾的公式： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2) 這個公式雖然好用多了，但還不是最好用的公式，因為累積天數D的計算也比較麻 煩。是不是可以用月份數和日期直接計算呢？答案也是肯定的。我們不妨來觀察一下各 個月的日數，列表如下： 月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 -------------------------------------------------------------------------- 天 數： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 如果把這個天數都減去28（=4*7），不影響W除以7的餘數值。這樣我們就得到另一張 表： 月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 ------------------------------------------------------------------------ 剩餘天數： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 平年累積： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29 閏年累積： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30 仔細觀察的話，我們會發現除去1月和2月，3月到7月這五個月的剩餘天數值是3,2,3,2, 3；8月到12月這五個月的天數值也是3,2,3,2,3，正好是一個重複。相應的累積天數中， 後一月的累積天數和前一月的累積天數之差減去28就是這個重複。正是因為這種規律的 存在，平年和閏年的累積天數可以用數學公式很方便地表達： ╭ d； （當M＝1） D = { 31 + d； （當M＝2） (3) ╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （當M≥3） 其中[...]仍表示只取整數部分；M和d分別是想算的日子的月份和日數；平年i=0，閏年 i=1。對於M≥3的表示式需要說明一下：[13*(M+1)/5]-7算出來的就是上面第二個表中的 平年累積值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的總天數。這是一 個很巧妙的辦法，利用取整運算來實現3,2,3,2,3的迴圈。比如，對2004年5月1日，有： D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1 = 122， 這正是5月1日在2004年的累積天數。 假如，我們再變通一下，把1月和2月當成是上一年的“13月”和“14月”，不僅仍 然符合這個公式，而且因為這樣一來，閏日成了上一“年”（一共有14個月）的最後一 天，成了d的一部分，於是平閏年的影響也去掉了，公式就簡化成： D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4) 上面計算星期幾的公式，也就可以進一步簡化成： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． 因為其中的-7和(M-1)*28兩項都可以被7整除，所以去掉這兩項，W除以7的餘數不變， 公式變成： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d． (5) 當然，要注意1月和2月已經被當成了上一年的13月和14月，因此在計算1月和2月的日子 的星期時，除了M要按13或14算，年份Y也要減一。比如，2004年1月1日是星期四，用這 個公式來算，有： W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5] + 1 = 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1 = 2524； 2524 / 7 = 360……4．這和實際是一致的。 公式(5)已經是從年、月、日來算星期幾的公式了，但它還不是最簡練的，對於年 份的處理還有改進的方法。我們先來用這個公式算出每個世紀第一年3月1日的星期，列 表如下： 年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101) -------------------------------------------------------------------- 星期： 4 2 ==================================================================== 年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301) -------------------------------------------------------------------- 星期： 0 5 可以看出，每隔四個世紀，這個星期就重複一次。假如我們把301(701,1101,…,2301) 年3月1日的星期數看成是-2（按數論中對餘數的定義，-2和5除以7的餘數相同，所以可 以做這樣的變換），那麼這個重複序列正好就是一個4,2,0,-2的等差數列。據此，我們 可以得到下面的計算每個世紀第一年3月1日的星期的公式： W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6) 式中，C是該世紀的世紀數減一，mod表示取模運算，即求餘數。比如，對於2001年3月 1日，C=20，則： W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4 = 8 - 4 = 4． 把公式(6)代入公式(5)，經過變換，可得： (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1 (mod 7)． (7) 因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]這四項，在計算 每個世紀第一年的日期的星期時，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1來代替。這個公式寫 出來就是： W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8) 有了計算每個世紀第一年的日期星期的公式，計算這個世紀其他各年的日期星期的公式 就很容易得到了。因為在一個世紀裡，末尾為00的年份是最後一年，因此就用不著再考 慮“一百年不閏，四百年又閏”的規則，只須考慮“四年一閏”的規則。仿照由公式(1) 簡化為公式(2)的方法，我們很容易就可以從式(8)得到一個比公式(5)更簡單的計算任意 一天是星期幾的公式： W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9) 式中，y是年份的後兩位數字。 如果再考慮到取模運算不是四則運算，我們還可以把(4 - C mod 4) * 2進一步改寫 成只含四則運算的表示式。因為世紀數減一C除以4的商數q和餘數r之間有如下關係： 4q + r = C， 其中r即是 C mod 4，因此，有： r = C - 4q = C - 4 * [C/4]． (10) 則 (4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2 ＝ 8 - 2C + 8 * [C/4] ≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11) 把式(11)代入(9)，得到： W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12) 這個公式由世紀數減一、年份末兩位、月份和日數即可算出W，再除以7，得到的餘數是 幾就表示這一天是星期幾，唯一需要變通的是要把1月和2月當成上一年的13月和14月， C和y都按上一年的年份取值。因此，人們普遍認為這是計算任意一天是星期幾的最好的 公式。這個公式最早是由德國數學家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822- 1899）在1886年推匯出的，因此通稱為蔡勒公式（Zeller’s Formula）。為方便口算， 式中的[13 * (M+1) / 5]也往往寫成[26 * (M+1) / 10]。 現在仍然讓我們來算2004年5月1日的星期，顯然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒 公式，有： W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1 = -15． 注意負數不能按習慣的餘數的概念求餘數，只能按數論中的餘數的定義求餘。為了方便 計算，我們可以給它加上一個7的整數倍，使它變為一個正數，比如加上70，得到55。 再除以7，餘6，說明這一天是星期六。這和實際是一致的，也和公式(2)計算所得的結 果一致。 最後需要說明的是，上面的公式都是基於公曆（格里高利曆）的置閏規則來考慮 的。對於儒略曆，蔡勒也推出了相應的公式是： W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13) 這樣，我們終於一勞永逸地解決了不查日曆計算任何一天是星期幾的問題。
最常見的公式：(如果你覺得很煩,看公式就可以了) W = [Y-1] + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D Y是年份數，D是這一天在這一年中的累積天數，也就是這一天在這一年中是第幾天。 最好用的是蔡勒公式： W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1 C是世紀數減一，y是年份後兩位，M是月份，d是日數。1月和2月要按上一年的13月和 14月來算，這時C和y均按上一年取值。 兩個公式中的[...]均指只取計算結果的整數部分。算出來的W除以7，餘數是幾就 是星期幾。如果餘數是0，則為星期日。 --------------------------------------------------------------------------- 星期制度是一種有古老傳統的制度。據說因為《聖經·創世紀》中規定上帝用了六 天時間創世紀，第七天休息，所以人們也就以七天為一個週期來安排自己的工作和生 活，而星期日是休息日。從實際的角度來講，以七天為一個週期，長短也比較合適。所 以儘管中國的傳統工作週期是十天（比如王勃《滕王閣序》中說的“十旬休暇”，即是 指官員的工作每十日為一個週期，第十日休假），但後來也採取了西方的星期制度。 在日常生活中，我們常常遇到要知道某一天是星期幾的問題。有時候，我們還想知 道歷史上某一天是星期幾。通常，解決這個方法的有效辦法是看日曆，但是我們總不會 隨時隨身帶著日曆，更不可能隨時隨身帶著幾千年的萬年曆。假如是想在計算機程式設計中 計算某一天是星期幾，預先把一本萬年曆存進去就更不現實了。這時候是不是有辦法通 過什麼公式，從年月日推出這一天是星期幾呢？ 答案是肯定的。其實我們也常常在這樣做。我們先舉一個簡單的例子。比如，知道 了2004年5月1日是星期六，那麼2004年5月31日“世界無煙日”是星期幾就不難推算出 來。我們可以掰著指頭從1日數到31日，同時數星期，最後可以數出5月31日是星期一。 其實運用數學計算，可以不用掰指頭。我們知道星期是七天一輪迴的，所以5月1日是星 期六，七天之後的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍數。同樣，5月15 日、5月22日和5月29日也是星期六，它們的日期和5月1日的差值分別是14、21和28，也 都是7的倍數。那麼5月31日呢？31-1=30，雖然不是7的倍數，但是31除以7，餘數為2， 這就是說，5月31日的星期，是在5月1日的星期之後兩天。星期六之後兩天正是星期一。 這個簡單的計算告訴我們計算星期的一個基本思路：首先，先要知道在想算的日子 之前的一個確定的日子是星期幾，拿這一天做為推算的標準，也就是相當於一個計算的 “原點”。其次，知道想算的日子和這個確定的日子之間相差多少天，用7除這個日期 的差值，餘數就表示想算的日子的星期在確定的日子的星期之後多少天。如果餘數是 0，就表示這兩天的星期相同。顯然，如果把這個作為“原點”的日子選為星期日，那 麼餘數正好就等於星期幾，這樣計算就更方便了。 但是直接計算兩天之間的天數，還是不免繁瑣。比如1982年7月29日和2004年5月 1日之間相隔7947天，就不是一下子能算出來的。它包括三段時間：一，1982年7月29 日以後這一年的剩餘天數；二，1983-2003這二十一個整年的全部天數；三，從2004年 元旦到5月1日經過的天數。第二段比較好算，它等於21*365+5=7670天，之所以要加 5，是因為這段時間內有5個閏年。第一段和第三段就比較麻煩了，比如第三段，需要把 5月之前的四個月的天數累加起來，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第 一段需要把7月之後的五個月的天數累加起來，再加上7月剩下的天數，一共是155天。 所以總共的相隔天數是122+7670+155=7947天。 仔細想想，如果把“原點”日子的日期選為12月31日，那麼第一段時間也就是一個 整年，這樣一來，第一段時間和第二段時間就可以合併計算，整年的總數正好相當於兩 個日子的年份差值減一。如果進一步把“原點”日子選為公元前1年12月31日（或者天文 學家所使用的公元0年12月31日），這個整年的總數就正好是想算的日子的年份減一。這 樣簡化之後，就只須計算兩段時間：一，這麼多整年的總天數；二，想算的日子是這一 年的第幾天。巧的是，按照公曆的年月設定，這樣反推回去，公元前1年12月31日正好是 星期日，也就是說，這樣算出來的總天數除以7的餘數正好是星期幾。那麼現在的問題就 只有一個：這麼多整年裡面有多少閏年。這就需要了解公曆的置閏規則了。 我們知道，公曆的平年是365天，閏年是366天。置閏的方法是能被4整除的年份在 2月加一天，但能被100整除的不閏，能被400整除的又閏。因此，像1600、2000、2400 年都是閏年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公曆也是閏年。 因此，對於從公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之間的所有整年 中的閏年數，就等於 [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]， [...]表示只取整數部分。第一項表示需要加上被4整除的年份數，第二項表示需要去掉 被100整除的年份數，第三項表示需要再加上被400整除的年份數。之所以Y要減一，這 樣，我們就得到了第一個計算某一天是星期幾的公式： W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1) 其中D是這個日子在這一年中的累積天數。算出來的W就是公元前1年（或公元0年）12月 31日到這一天之間的間隔日數。把W用7除，餘數是幾，這一天就是星期幾。比如我們來 算2004年5月1日： W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] + (31+29+31+30+1) = 731702， 731702 / 7 = 104528……6，餘數為六，說明這一天是星期六。這和事實是符合的。 上面的公式(1)雖然很準確，但是計算出來的數字太大了，使用起來很不方便。仔 細想想，其實這個間隔天數W的用處僅僅是為了得到它除以7之後的餘數。這啟發我們是 不是可以簡化這個W值，只要找一個和它餘數相同的較小的數來代替，用數論上的術語 來說，就是找一個和它同餘的較小的正整數，照樣可以計算出準確的星期數。 顯然，W這麼大的原因是因為公式中的第一項(Y-1)*365太大了。其實， (Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1) = (Y-1) * (7*52+1) = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)， 這個結果的第一項是一個7的倍數，除以7餘數為0，因此(Y-1)*365除以7的餘數其實就 等於Y-1除以7的餘數。這個關係可以表示為： (Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)． 其中，≡是數論中表示同餘的符號，mod 7的意思是指在用7作模數（也就是除數）的情 況下≡號兩邊的數是同餘的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，這樣我們就得到 了那個著名的、也是最常見到的計算星期幾的公式： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2) 這個公式雖然好用多了，但還不是最好用的公式，因為累積天數D的計算也比較麻 煩。是不是可以用月份數和日期直接計算呢？答案也是肯定的。我們不妨來觀察一下各 個月的日數，列表如下： 月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 -------------------------------------------------------------------------- 天 數： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 如果把這個天數都減去28（=4*7），不影響W除以7的餘數值。這樣我們就得到另一張 表： 月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 ------------------------------------------------------------------------ 剩餘天數： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 平年累積： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29 閏年累積： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30 仔細觀察的話，我們會發現除去1月和2月，3月到7月這五個月的剩餘天數值是3,2,3,2, 3；8月到12月這五個月的天數值也是3,2,3,2,3，正好是一個重複。相應的累積天數中， 後一月的累積天數和前一月的累積天數之差減去28就是這個重複。正是因為這種規律的 存在，平年和閏年的累積天數可以用數學公式很方便地表達： ╭ d； （當M＝1） D = { 31 + d； （當M＝2） (3) ╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （當M≥3） 其中[...]仍表示只取整數部分；M和d分別是想算的日子的月份和日數；平年i=0，閏年 i=1。對於M≥3的表示式需要說明一下：[13*(M+1)/5]-7算出來的就是上面第二個表中的 平年累積值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的總天數。這是一 個很巧妙的辦法，利用取整運算來實現3,2,3,2,3的迴圈。比如，對2004年5月1日，有： D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1 = 122， 這正是5月1日在2004年的累積天數。 假如，我們再變通一下，把1月和2月當成是上一年的“13月”和“14月”，不僅仍 然符合這個公式，而且因為這樣一來，閏日成了上一“年”（一共有14個月）的最後一 天，成了d的一部分，於是平閏年的影響也去掉了，公式就簡化成： D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4) 上面計算星期幾的公式，也就可以進一步簡化成： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． 因為其中的-7和(M-1)*28兩項都可以被7整除，所以去掉這兩項，W除以7的餘數不變， 公式變成： W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d． (5) 當然，要注意1月和2月已經被當成了上一年的13月和14月，因此在計算1月和2月的日子 的星期時，除了M要按13或14算，年份Y也要減一。比如，2004年1月1日是星期四，用這 個公式來算，有： W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5] + 1 = 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1 = 2524； 2524 / 7 = 360……4．這和實際是一致的。 公式(5)已經是從年、月、日來算星期幾的公式了，但它還不是最簡練的，對於年 份的處理還有改進的方法。我們先來用這個公式算出每個世紀第一年3月1日的星期，列 表如下： 年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101) -------------------------------------------------------------------- 星期： 4 2 ==================================================================== 年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301) -------------------------------------------------------------------- 星期： 0 5 可以看出，每隔四個世紀，這個星期就重複一次。假如我們把301(701,1101,…,2301) 年3月1日的星期數看成是-2（按數論中對餘數的定義，-2和5除以7的餘數相同，所以可 以做這樣的變換），那麼這個重複序列正好就是一個4,2,0,-2的等差數列。據此，我們 可以得到下面的計算每個世紀第一年3月1日的星期的公式： W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6) 式中，C是該世紀的世紀數減一，mod表示取模運算，即求餘數。比如，對於2001年3月 1日，C=20，則： W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4 = 8 - 4 = 4． 把公式(6)代入公式(5)，經過變換，可得： (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1 (mod 7)． (7) 因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]這四項，在計算 每個世紀第一年的日期的星期時，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1來代替。這個公式寫 出來就是： W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8) 有了計算每個世紀第一年的日期星期的公式，計算這個世紀其他各年的日期星期的公式 就很容易得到了。因為在一個世紀裡，末尾為00的年份是最後一年，因此就用不著再考 慮“一百年不閏，四百年又閏”的規則，只須考慮“四年一閏”的規則。仿照由公式(1) 簡化為公式(2)的方法，我們很容易就可以從式(8)得到一個比公式(5)更簡單的計算任意 一天是星期幾的公式： W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9) 式中，y是年份的後兩位數字。 如果再考慮到取模運算不是四則運算，我們還可以把(4 - C mod 4) * 2進一步改寫 成只含四則運算的表示式。因為世紀數減一C除以4的商數q和餘數r之間有如下關係： 4q + r = C， 其中r即是 C mod 4，因此，有： r = C - 4q = C - 4 * [C/4]． (10) 則 (4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2 ＝ 8 - 2C + 8 * [C/4] ≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11) 把式(11)代入(9)，得到： W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12) 這個公式由世紀數減一、年份末兩位、月份和日數即可算出W，再除以7，得到的餘數是 幾就表示這一天是星期幾，唯一需要變通的是要把1月和2月當成上一年的13月和14月， C和y都按上一年的年份取值。因此，人們普遍認為這是計算任意一天是星期幾的最好的 公式。這個公式最早是由德國數學家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822- 1899）在1886年推匯出的，因此通稱為蔡勒公式（Zeller’s Formula）。為方便口算， 式中的[13 * (M+1) / 5]也往往寫成[26 * (M+1) / 10]。 現在仍然讓我們來算2004年5月1日的星期，顯然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒 公式，有： W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1 = -15． 注意負數不能按習慣的餘數的概念求餘數，只能按數論中的餘數的定義求餘。為了方便 計算，我們可以給它加上一個7的整數倍，使它變為一個正數，比如加上70，得到55。 再除以7，餘6，說明這一天是星期六。這和實際是一致的，也和公式(2)計算所得的結 果一致。 最後需要說明的是，上面的公式都是基於公曆（格里高利曆）的置閏規則來考慮 的。對於儒略曆，蔡勒也推出了相應的公式是： W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13) 這樣，我們終於一勞永逸地解決了不查日曆計算任何一天是星期幾的問題。