本文將探討一下三角形中由一個頂點到一邊上點的連線段長度的計算方法，並由此匯出中線、角平分線、垂線的長度及其性質。如上圖所示，已知，三角形三邊a，b，c，我們來求解一下線段AD的長度。由，可得：，，在三角形ABD和三角形ACD中，分別利用餘弦定理，匯出α、β，則有：由於α+β=π，所以從而有：由此可以解出AD：這便是一般的三角形內的線段長公式。如果AD是中線，那麼，代入線段長公式即可，我們記BC邊上的中線AD為ma，AC邊上的中線為mb，AB邊上的中線為mc，則有中線長公式：利用餘弦定理：，，三式代入上式，可得中線長公式的另外一種形式：如果AD是高線，我們直接可以由三角形的面積公式一得到其長度，即，代入到線段長公式中，就可以求出λ和μ的比值，但是計算過程會比較複雜，下面我們使用簡單的方法得出λ和μ的比值。由於AD是高，於是，，便有：用語言描述就是：三角形高線分底邊的比等於底邊兩角正切的反比。我們記BC邊上的垂線為ha，AC邊上的垂線為hb，AB邊上的垂線為hc，於是垂線長公式就變為：這組求解高線長的公式實際上很少用到，畢竟複雜了些，若是遇到要求高線長的，都是用面積除以對應的底的長來得到。如果AD是角A的平分線，那麼在三角形ABD和三角形ACD中，分別利用正弦定理，則有：，。因為AD是角A的平分線，所以，於是有：，而在三角形ABC中，由正弦定理：，可得：用語言描述就是：三角形內角平分線分對邊的比等於對應角兩邊的比。這個比例式通常被稱為角平分線定理。將其代入到線段長公式中可得內角平分線長，我們記角A的平分線長為ta，角B的平分線長為tb，角C的平分線長為tc，於是角平分線長公式為：利用餘弦定理，，消去公式裡的a，可得：（餘弦定理在這裡代入）（利用三角函式餘弦的半形公式）於是角平分長公式的另一種形式為：接下來，我們再來探討一下外交平分線長。如上外角平分線圖，AD是角A的外角平分線，即，如果把三角形ABD看成是目標三角形，AC看成是其內的線段，那麼就可以利用線段長公式來反求AD的長，為此，我們先要求出BC：CD。在三角形ABD和三角形ACD中分別利用正弦定理，便有：，，於是代入線段長公式，注意這裡以AC為線段，解出我們記角A的外角平分線長為，角B的外角平分線長為，角C的外角平分線長為，於是外角平分線長公式為：總結：三角形的中線、垂線、角平分線是平面幾何計算中十分常用的，它們分對邊的比例式的使用，往往可以給計算和證明帶來十分簡潔的思路，不過最基本的計算依舊還是基於正餘弦定理。
本文將探討一下三角形中由一個頂點到一邊上點的連線段長度的計算方法，並由此匯出中線、角平分線、垂線的長度及其性質。如上圖所示，已知，三角形三邊a，b，c，我們來求解一下線段AD的長度。由，可得：，，在三角形ABD和三角形ACD中，分別利用餘弦定理，匯出α、β，則有：由於α+β=π，所以從而有：由此可以解出AD：這便是一般的三角形內的線段長公式。如果AD是中線，那麼，代入線段長公式即可，我們記BC邊上的中線AD為ma，AC邊上的中線為mb，AB邊上的中線為mc，則有中線長公式：利用餘弦定理：，，三式代入上式，可得中線長公式的另外一種形式：如果AD是高線，我們直接可以由三角形的面積公式一得到其長度，即，代入到線段長公式中，就可以求出λ和μ的比值，但是計算過程會比較複雜，下面我們使用簡單的方法得出λ和μ的比值。由於AD是高，於是，，便有：用語言描述就是：三角形高線分底邊的比等於底邊兩角正切的反比。我們記BC邊上的垂線為ha，AC邊上的垂線為hb，AB邊上的垂線為hc，於是垂線長公式就變為：這組求解高線長的公式實際上很少用到，畢竟複雜了些，若是遇到要求高線長的，都是用面積除以對應的底的長來得到。如果AD是角A的平分線，那麼在三角形ABD和三角形ACD中，分別利用正弦定理，則有：，。因為AD是角A的平分線，所以，於是有：，而在三角形ABC中，由正弦定理：，可得：用語言描述就是：三角形內角平分線分對邊的比等於對應角兩邊的比。這個比例式通常被稱為角平分線定理。將其代入到線段長公式中可得內角平分線長，我們記角A的平分線長為ta，角B的平分線長為tb，角C的平分線長為tc，於是角平分線長公式為：利用餘弦定理，，消去公式裡的a，可得：（餘弦定理在這裡代入）（利用三角函式餘弦的半形公式）於是角平分長公式的另一種形式為：接下來，我們再來探討一下外交平分線長。如上外角平分線圖，AD是角A的外角平分線，即，如果把三角形ABD看成是目標三角形，AC看成是其內的線段，那麼就可以利用線段長公式來反求AD的長，為此，我們先要求出BC：CD。在三角形ABD和三角形ACD中分別利用正弦定理，便有：，，於是代入線段長公式，注意這裡以AC為線段，解出我們記角A的外角平分線長為，角B的外角平分線長為，角C的外角平分線長為，於是外角平分線長公式為：總結：三角形的中線、垂線、角平分線是平面幾何計算中十分常用的，它們分對邊的比例式的使用，往往可以給計算和證明帶來十分簡潔的思路，不過最基本的計算依舊還是基於正餘弦定理。