先回答題主的問題：函子簡單的來說，就是範疇之間的對映，具體分析如下：
根據以往經驗，初步給出函子的定義為，
給定兩個範疇 C 和 D，如果 從 C 的態射 到 D 的態射 的 對映 F: MorC → MorD 能夠保持 複合運算，即，滿足條件1：
F(gf) = F(g)F(f)
則稱 F 是 C 到 D 的函子。
條件1 隱含下面的條件（若非，如此條件1，將會沒有意義）：
如果 cod f = dom g 則 cod F(f) = dom F(g)。
考慮，如果 cod f = A = cod f"，則 cod f = dom 1ᴀ = cod f"，再根據隱含條件，有 cod F(f) = dom F(Iᴀ) = cod F(f")，於是我們得到：
如果 cod f = cod f" 則 cod F(f) = cod F(f")。
同理，還可以得到：
如果 dom g = dom g" 則 dom F(g) = dom F(g")。
上面的性質說明，函子 F 保持共端不變性，即，有共同端點的 態射 對映後 依然保持 有共同端點。於是，函子 F 也可以看成 範疇物件 之間的對映，即， F: ObC → ObD。
根據，範疇的定義：
假設 A 有兩個 么態射 1ᴀ 和 1"ᴀ，則 當 1ᴀ 視為 么態射時，有 1ᴀ1"ᴀ = 1"ᴀ，當 1"ᴀ 視為 么態射時，有 1ᴀ1"ᴀ = 1ᴀ，兩個等式聯立，就得到 1ᴀ = 1"ᴀ。
這樣，我們就證明：每一個物件 A 對應 唯一的 么態射 1ᴀ，根據 么態射的唯一性，我們可以定義：
F(A) = dom F(1ᴀ) = cod F(1ᴀ)
這樣以來，函子 F 就既是態射之間的對映又是物件之間的對映，因此 我們乾脆 將 函子 記為， F: C → D。
再考慮，因為 F(f) F(1ᴀ) = F(f1ᴀ) = F(f), F(1ᴀ)F(f) = F(1ᴀf) = F(f)，所以 當 F 是滿射時, F(1ᴀ) 一定是 F(A) 的么態射 1ғ₍ᴀ₎，即，
F(1ᴀ) = 1ғ₍ᴀ₎
為了讓非滿射 和 滿射保持一致，將 上面的 等式，作為條件2，加入函子定義。最終，我們就得到函子的完整版定義：
給定兩個範疇 C 和 D，如果 從 C 的態射 到 D 的態射 的 對映 F: MorC → MorD，滿足
其中， F: ObC → ObD 定義為：
則，稱 F 是 C 到 D 的函子，記為 F: C → D，交換圖如下：
接下來看一些函子的例項：
◆恆等函子
任意一個範疇 C 上態射集到自身的恆等對映 id：MorC → MorC, id(f) = f，滿足函子的條件：
id(gf) = gf = id(g)id(f) , id(A) = dom(id(Iᴀ)) = A，id(Iᴀ) = Iᴀ = I_{id(A)}
稱為 id 為 C 上的恆等函子，記為 1ᴄ。
◆含入函子
對於任意兩個範疇 C 和 D，如果 MorC ⊆ MorD 則稱 C 是 D 的子範疇，記為 C ⊆ D （如，前面的 LifeG ⊆ Life，Ṙ ⊆ Set），這時，可以驗證， 含入對映 i: MorC → MorD, i(f) = f 滿足函子的條件， 於是 稱 i 為 C 到 D 的 含入函子。
◆常函子
對於 D 中的任意物件 A，可以 常值對映 F：MorC ⊆ MorD， F(f) = 1ᴀ，F顯然滿足函子的條件，於是稱 F 為常函子。
◆忘卻函子
全體 群 與 群同態，構成一個範疇，記為 Grp，而我們知道 群 與 群同態 首先 是 集合 與 對映，於是，自然就有一 個從 Grp 到 Set 的函子，它將 Grp 中 群同態 對映為 Set 中的自己，稱這類函子 為 忘卻函子。
◆複合函子
函子本來就是 對映，既然對映可以複合，那麼函子也可以，可以證明 函子的複合 任然是 函子，稱這樣的函子為複合函子。
如果將 所有 範疇 看成物件，所有函子 看出態射，則 函子的複合，滿足 範疇的複合運算 條件，而 每個 範疇的 恆等函子 是 該範疇的 么態射，於是 構成 一個全體範疇的大範疇。
大範疇也是範疇，因此 大範疇的物件包括自己，而《公理集合論》規定，一個集合不能直接或間接的包含自己，這種包含自己的“集合”稱為 真類，類 = 集合 + 真類。
對於一個範疇C，如果 ObC 和 MorC 都是 集合，則稱 C 是小范疇，否則就是 大範疇。
有全體小范疇 和 它們之間的函子 構成的範疇，記為 Cat。Cat 一定不是小范疇，因為：假設 Cat 是小范疇，則 Cat ∈ ObCat，於是 ObCat 就不是集合，即，Cat不是小范疇，矛盾。
◆冪等函子
我們將 一個 集合 A 的 所有子集 組成的 集合 稱為 A 的冪集，記為 2ᴬ，例如：A = {0, 1}，2ᴬ = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}。
對於任意 對映 f : A → B, 我們都可以引出對映 ƒ : 2ᴬ → 2ᴮ，
ƒ(X) = {f(x) | x ∈ X }, X ⊆ A (X ∈ 2ᴬ )
例如：設 B = {a, b}, f = 0 ↦ a, 1 ↦ a，則 ƒ = ∅ ↦ ∅, {0}, {1} , {0, 1} ↦ {a}。
如果 定義 P: MorSet → MorSet, P(f) = ƒ，則可以驗證 P 滿足函子條件，我們 稱 P 為 冪等函子。
考慮冪等函子的定義過程，其實，我們還可以從 f 引出另外一個對映 ƒ": 2ᴮ → 2ᴬ,
ƒ"(Y) = {x ∈ X | f(x) ∈ Y}, Y ⊆ B (Y ∈ 2ᴮ )
就上例，ƒ" = ∅, {b} ↦ ∅, {a}, {a, b} ↦ {0, 1}。
如果 定義 Q: MorSet → MorSet, Q(f) = ƒ"，我們發現，Q 在函子條件2 上 和 P 沒有差別：
P(A) = Q(A) = 2ᴬ
但是在條件1上，卻有些許的差別：
P(gf) = P(g)P(f)
Q(gf) = Q(f)Q(g)
也就是說 Q 對應過去的 箭頭 方向 和原來箭頭 剛好相反。除了這一點外，Q 都符合完全函子的定義！於是，我們也認可 Q 是函子，為了區分 稱 原來的函子為 協變函子，Q 這樣的函子為 反變函子。反變函子的定義和 協變函子的定義類似，只不過 將 條件1 改為：
F(gf) = F(f)F(g)
依然就上例，我們還能發現： ƒ 和 ƒ" 一一對應，方向相反，即，
dom ƒ" = cod ƒ, cod ƒ"= dom ƒ
但 因為
ƒ"(ƒ({0})) = {0, 1} ≠ {0}
所以 ƒ" 並不是 ƒ 的逆態射 ƒ⁻¹，我們 將 ƒ" 記為 ƒᵒᵖ，稱為 ƒ 的 對偶態射。
任何一個態射 f 只要將 箭頭方向倒過來，都可以 得到一個 對偶態射 fᵒᵖ，首此啟發，如果將 範疇 C 中的 所有 態射 反向顛倒，其它保持不變，這樣就會得到一個 新的 範疇，記為 Cᵒᵖ 稱為 C 的對偶範疇。
一個範疇 C 和它的對偶範疇 Cᵒᵖ 之間，自然存在 函子 Rᴄ : C → Cᵒᵖ，Rᴄ(f) = fᵒᵖ，Rᴄ 是一個反變函子，反過來 Яᴄ : Cᵒᵖ → C，Яᴄ(fᵒᵖ) = f 也是一個反變函子。
對於任意 函子 F: A → B，複合函子 RʙF: A → Bᵒᵖ 的 協反性 和 F 相反，而 複合函子 RʙFЯᴀ：Aᵒᵖ → Bᵒᵖ 的 協反性 和 F 相同，稱 RʙFЯᴀ 為 F 的對偶函子，記為 Fᵒᵖ。
給定，兩個範疇 A 和 B，可以利用笛卡爾積定義一個新範疇，記為 A × B：
Ob(A × B) = ObA × ObB = {(A, B) | A ∈ ObA, B ∈ ObB}
Mor(A × B) = MorA × MorB = {(f, g) | f ∈ MorA, g∈ MorB}
dom(f, g) = (dom f, dom g), cod(f, g) = (cod f, cod g)
(f", g")(f, g) = (f"f, g"g)
1₍ᴀ, ʙ₎ = (1ᴀ, 1ʙ)
稱 A × B 為 積範疇。
特別的，令 A⁰ = 0, A¹ = 1, ..., Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A ...
我們很自然的可以定義 二元對映 F: MorA × MorB → Mor(A × B), F(f, g) = (f, g)，則有，
F(1ᴀ, 1ʙ) = (1ᴀ, 1ʙ) = 1₍ᴀ, ʙ₎
F(f"f, g"g) = (f"f", g"g") = (f", g")(f, g)= F(f", g")F(f, g)
F(A, B) = dom F(1ᴀ, 1ʙ) = dom(1ᴀ, 1ʙ) = (dom 1ᴀ, dom 1ʙ) = (A, B)
大家會發現 F 具有和 函子完全類同的構成，沒錯 F 就是一個二元協變函子。
具體多元函子的定義如下：
給定 一組範疇 Aᵢ (i = 1, 2, ..., r) 和一個範疇 B，如果 從 Aᵢ 的態射 到 B 的態射 的 多元對映 F: MorA₁ × MorA₂ × ... × MorAᵣ → MorB，滿足
F(g₁f₁, g₂f₂, ..., gᵣfᵣ) = F(g₁, g₂, ..., gᵣ)F(f₁, f₂, ..., fᵣ)
F(1ᴀ₁, 1ᴀᵣ) = 1ғ₍ᴀ₁,ᴀᵣ₎
其中， F: ObA₁ × ObA₂ × ... × ObAᵣ → ObB 定義為：
F(A₁, ..., Aᵣ) = dom F(1ᴀ₁, ..., 1ᴀᵣ) = cod F(1ᴀ₁, ..., 1ᴀᵣ)
則稱 F 為 r 元協變函子。如果將條件1 中 等式右邊的任意多個同序號引數互換位置，即，
F(..., gᵢ, ...)F(..., fᵢ, ...) ↦ F(..., fᵢ, ...)F(..., gᵢ, ...)
則 稱 F 為 r 混合函子，全部引數互換位置，就是：
F(g₁, g₂, ..., gᵣ)F(f₁, f₂, ..., fᵣ) ↦ F(f₁, f₂, ..., fᵣ)F(g₁, g₂, ..., gᵣ)
這時 稱 F 為 r 反變函子。
◆霍姆函子
給定範疇 C 中的任意 霍姆集 Hom(A, B) 都是集合，則稱 C 為區域性小范疇，這時 Hom(A, B) 一定是 範疇 Set 的物件。
對於 區域性小范疇 C 中的任意態射 f: A → B, g: C → D，必然有對於的 對映 h : Hom(B, C) → Hom(A, D) 定義如下：
h(x) = gxf
這裡 的 h 顯然是 Set 的 態射，於是我們就可以定義二元對映 H: MorC × MorC → MorSet 如下：
H(f, g)(x) = h(x) = gxf
則有：
H(1ᴀ,1ʙ)(x) = 1ᴀx1ʙ = x = 1_{Hom(A, B)}
又有：
H(f"f, g"g)(x) = (f"f)x(g"g) = f"(fxg")g = f"(H(f, g")(x))g = H(f", g)(H(f, g")(x)) = (H(f", g)H(f, g"))(x)
即，
H(f"f, g"g) = H(f", g)H(f, g")
顯然 H 是一個 混合函子，第一個引數 反變，第二個引數 協變。
給定 C 中的物件 A，如令：
Hᴀ(f)(x) = H(1ᴀ, f) = fx1ᴀ = fx
Hᴬ(f)(x) = H(f, 1ᴀ) = 1ᴀxf = xf
則，Hᴀ, Hᴬ 為 C 到 Set 的函子，Hᴀ 協變，Hᴬ 反變。
不知不覺，已經講到 霍姆函子啦，這個有些抽象，小石頭已經竭盡所能化繁為簡了，希望大家不要被繞暈了。
好了，這篇回答先到這裡，關於函子還有部分內容，我們留在下一次，作為自然變換的引子來講。自然變換用於揭示函子之間的某種關係，研究起來將會非常有趣呦！
先回答題主的問題：函子簡單的來說，就是範疇之間的對映，具體分析如下：
函子根據以往經驗，初步給出函子的定義為，
給定兩個範疇 C 和 D，如果 從 C 的態射 到 D 的態射 的 對映 F: MorC → MorD 能夠保持 複合運算，即，滿足條件1：
F(gf) = F(g)F(f)
則稱 F 是 C 到 D 的函子。
條件1 隱含下面的條件（若非，如此條件1，將會沒有意義）：
如果 cod f = dom g 則 cod F(f) = dom F(g)。
考慮，如果 cod f = A = cod f"，則 cod f = dom 1ᴀ = cod f"，再根據隱含條件，有 cod F(f) = dom F(Iᴀ) = cod F(f")，於是我們得到：
如果 cod f = cod f" 則 cod F(f) = cod F(f")。
同理，還可以得到：
如果 dom g = dom g" 則 dom F(g) = dom F(g")。
上面的性質說明，函子 F 保持共端不變性，即，有共同端點的 態射 對映後 依然保持 有共同端點。於是，函子 F 也可以看成 範疇物件 之間的對映，即， F: ObC → ObD。
根據，範疇的定義：
假設 A 有兩個 么態射 1ᴀ 和 1"ᴀ，則 當 1ᴀ 視為 么態射時，有 1ᴀ1"ᴀ = 1"ᴀ，當 1"ᴀ 視為 么態射時，有 1ᴀ1"ᴀ = 1ᴀ，兩個等式聯立，就得到 1ᴀ = 1"ᴀ。
這樣，我們就證明：每一個物件 A 對應 唯一的 么態射 1ᴀ，根據 么態射的唯一性，我們可以定義：
F(A) = dom F(1ᴀ) = cod F(1ᴀ)
這樣以來，函子 F 就既是態射之間的對映又是物件之間的對映，因此 我們乾脆 將 函子 記為， F: C → D。
再考慮，因為 F(f) F(1ᴀ) = F(f1ᴀ) = F(f), F(1ᴀ)F(f) = F(1ᴀf) = F(f)，所以 當 F 是滿射時, F(1ᴀ) 一定是 F(A) 的么態射 1ғ₍ᴀ₎，即，
F(1ᴀ) = 1ғ₍ᴀ₎
為了讓非滿射 和 滿射保持一致，將 上面的 等式，作為條件2，加入函子定義。最終，我們就得到函子的完整版定義：
給定兩個範疇 C 和 D，如果 從 C 的態射 到 D 的態射 的 對映 F: MorC → MorD，滿足
F(gf) = F(g)F(f)
F(1ᴀ) = 1ғ₍ᴀ₎
其中， F: ObC → ObD 定義為：
F(A) = dom F(1ᴀ) = cod F(1ᴀ)
則，稱 F 是 C 到 D 的函子，記為 F: C → D，交換圖如下：
接下來看一些函子的例項：
◆恆等函子
任意一個範疇 C 上態射集到自身的恆等對映 id：MorC → MorC, id(f) = f，滿足函子的條件：
id(gf) = gf = id(g)id(f) , id(A) = dom(id(Iᴀ)) = A，id(Iᴀ) = Iᴀ = I_{id(A)}
稱為 id 為 C 上的恆等函子，記為 1ᴄ。
◆含入函子
對於任意兩個範疇 C 和 D，如果 MorC ⊆ MorD 則稱 C 是 D 的子範疇，記為 C ⊆ D （如，前面的 LifeG ⊆ Life，Ṙ ⊆ Set），這時，可以驗證， 含入對映 i: MorC → MorD, i(f) = f 滿足函子的條件， 於是 稱 i 為 C 到 D 的 含入函子。
◆常函子
對於 D 中的任意物件 A，可以 常值對映 F：MorC ⊆ MorD， F(f) = 1ᴀ，F顯然滿足函子的條件，於是稱 F 為常函子。
◆忘卻函子
全體 群 與 群同態，構成一個範疇，記為 Grp，而我們知道 群 與 群同態 首先 是 集合 與 對映，於是，自然就有一 個從 Grp 到 Set 的函子，它將 Grp 中 群同態 對映為 Set 中的自己，稱這類函子 為 忘卻函子。
◆複合函子
函子本來就是 對映，既然對映可以複合，那麼函子也可以，可以證明 函子的複合 任然是 函子，稱這樣的函子為複合函子。
如果將 所有 範疇 看成物件，所有函子 看出態射，則 函子的複合，滿足 範疇的複合運算 條件，而 每個 範疇的 恆等函子 是 該範疇的 么態射，於是 構成 一個全體範疇的大範疇。
大範疇也是範疇，因此 大範疇的物件包括自己，而《公理集合論》規定，一個集合不能直接或間接的包含自己，這種包含自己的“集合”稱為 真類，類 = 集合 + 真類。
對於一個範疇C，如果 ObC 和 MorC 都是 集合，則稱 C 是小范疇，否則就是 大範疇。
有全體小范疇 和 它們之間的函子 構成的範疇，記為 Cat。Cat 一定不是小范疇，因為：假設 Cat 是小范疇，則 Cat ∈ ObCat，於是 ObCat 就不是集合，即，Cat不是小范疇，矛盾。
◆冪等函子
我們將 一個 集合 A 的 所有子集 組成的 集合 稱為 A 的冪集，記為 2ᴬ，例如：A = {0, 1}，2ᴬ = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}。
對於任意 對映 f : A → B, 我們都可以引出對映 ƒ : 2ᴬ → 2ᴮ，
ƒ(X) = {f(x) | x ∈ X }, X ⊆ A (X ∈ 2ᴬ )
例如：設 B = {a, b}, f = 0 ↦ a, 1 ↦ a，則 ƒ = ∅ ↦ ∅, {0}, {1} , {0, 1} ↦ {a}。
如果 定義 P: MorSet → MorSet, P(f) = ƒ，則可以驗證 P 滿足函子條件，我們 稱 P 為 冪等函子。
協變與反變考慮冪等函子的定義過程，其實，我們還可以從 f 引出另外一個對映 ƒ": 2ᴮ → 2ᴬ,
ƒ"(Y) = {x ∈ X | f(x) ∈ Y}, Y ⊆ B (Y ∈ 2ᴮ )
就上例，ƒ" = ∅, {b} ↦ ∅, {a}, {a, b} ↦ {0, 1}。
如果 定義 Q: MorSet → MorSet, Q(f) = ƒ"，我們發現，Q 在函子條件2 上 和 P 沒有差別：
P(A) = Q(A) = 2ᴬ
但是在條件1上，卻有些許的差別：
P(gf) = P(g)P(f)
Q(gf) = Q(f)Q(g)
也就是說 Q 對應過去的 箭頭 方向 和原來箭頭 剛好相反。除了這一點外，Q 都符合完全函子的定義！於是，我們也認可 Q 是函子，為了區分 稱 原來的函子為 協變函子，Q 這樣的函子為 反變函子。反變函子的定義和 協變函子的定義類似，只不過 將 條件1 改為：
F(gf) = F(f)F(g)
依然就上例，我們還能發現： ƒ 和 ƒ" 一一對應，方向相反，即，
dom ƒ" = cod ƒ, cod ƒ"= dom ƒ
但 因為
ƒ"(ƒ({0})) = {0, 1} ≠ {0}
所以 ƒ" 並不是 ƒ 的逆態射 ƒ⁻¹，我們 將 ƒ" 記為 ƒᵒᵖ，稱為 ƒ 的 對偶態射。
任何一個態射 f 只要將 箭頭方向倒過來，都可以 得到一個 對偶態射 fᵒᵖ，首此啟發，如果將 範疇 C 中的 所有 態射 反向顛倒，其它保持不變，這樣就會得到一個 新的 範疇，記為 Cᵒᵖ 稱為 C 的對偶範疇。
一個範疇 C 和它的對偶範疇 Cᵒᵖ 之間，自然存在 函子 Rᴄ : C → Cᵒᵖ，Rᴄ(f) = fᵒᵖ，Rᴄ 是一個反變函子，反過來 Яᴄ : Cᵒᵖ → C，Яᴄ(fᵒᵖ) = f 也是一個反變函子。
對於任意 函子 F: A → B，複合函子 RʙF: A → Bᵒᵖ 的 協反性 和 F 相反，而 複合函子 RʙFЯᴀ：Aᵒᵖ → Bᵒᵖ 的 協反性 和 F 相同，稱 RʙFЯᴀ 為 F 的對偶函子，記為 Fᵒᵖ。
多元函子給定，兩個範疇 A 和 B，可以利用笛卡爾積定義一個新範疇，記為 A × B：
Ob(A × B) = ObA × ObB = {(A, B) | A ∈ ObA, B ∈ ObB}
Mor(A × B) = MorA × MorB = {(f, g) | f ∈ MorA, g∈ MorB}
dom(f, g) = (dom f, dom g), cod(f, g) = (cod f, cod g)
(f", g")(f, g) = (f"f, g"g)
1₍ᴀ, ʙ₎ = (1ᴀ, 1ʙ)
稱 A × B 為 積範疇。
特別的，令 A⁰ = 0, A¹ = 1, ..., Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A ...
我們很自然的可以定義 二元對映 F: MorA × MorB → Mor(A × B), F(f, g) = (f, g)，則有，
F(1ᴀ, 1ʙ) = (1ᴀ, 1ʙ) = 1₍ᴀ, ʙ₎
F(f"f, g"g) = (f"f", g"g") = (f", g")(f, g)= F(f", g")F(f, g)
F(A, B) = dom F(1ᴀ, 1ʙ) = dom(1ᴀ, 1ʙ) = (dom 1ᴀ, dom 1ʙ) = (A, B)
大家會發現 F 具有和 函子完全類同的構成，沒錯 F 就是一個二元協變函子。
具體多元函子的定義如下：
給定 一組範疇 Aᵢ (i = 1, 2, ..., r) 和一個範疇 B，如果 從 Aᵢ 的態射 到 B 的態射 的 多元對映 F: MorA₁ × MorA₂ × ... × MorAᵣ → MorB，滿足
F(g₁f₁, g₂f₂, ..., gᵣfᵣ) = F(g₁, g₂, ..., gᵣ)F(f₁, f₂, ..., fᵣ)
F(1ᴀ₁, 1ᴀᵣ) = 1ғ₍ᴀ₁,ᴀᵣ₎
其中， F: ObA₁ × ObA₂ × ... × ObAᵣ → ObB 定義為：
F(A₁, ..., Aᵣ) = dom F(1ᴀ₁, ..., 1ᴀᵣ) = cod F(1ᴀ₁, ..., 1ᴀᵣ)
則稱 F 為 r 元協變函子。如果將條件1 中 等式右邊的任意多個同序號引數互換位置，即，
F(..., gᵢ, ...)F(..., fᵢ, ...) ↦ F(..., fᵢ, ...)F(..., gᵢ, ...)
則 稱 F 為 r 混合函子，全部引數互換位置，就是：
F(g₁, g₂, ..., gᵣ)F(f₁, f₂, ..., fᵣ) ↦ F(f₁, f₂, ..., fᵣ)F(g₁, g₂, ..., gᵣ)
這時 稱 F 為 r 反變函子。
◆霍姆函子
給定範疇 C 中的任意 霍姆集 Hom(A, B) 都是集合，則稱 C 為區域性小范疇，這時 Hom(A, B) 一定是 範疇 Set 的物件。
對於 區域性小范疇 C 中的任意態射 f: A → B, g: C → D，必然有對於的 對映 h : Hom(B, C) → Hom(A, D) 定義如下：
h(x) = gxf
這裡 的 h 顯然是 Set 的 態射，於是我們就可以定義二元對映 H: MorC × MorC → MorSet 如下：
H(f, g)(x) = h(x) = gxf
則有：
H(1ᴀ,1ʙ)(x) = 1ᴀx1ʙ = x = 1_{Hom(A, B)}
又有：
H(f"f, g"g)(x) = (f"f)x(g"g) = f"(fxg")g = f"(H(f, g")(x))g = H(f", g)(H(f, g")(x)) = (H(f", g)H(f, g"))(x)
即，
H(f"f, g"g) = H(f", g)H(f, g")
顯然 H 是一個 混合函子，第一個引數 反變，第二個引數 協變。
給定 C 中的物件 A，如令：
Hᴀ(f)(x) = H(1ᴀ, f) = fx1ᴀ = fx
Hᴬ(f)(x) = H(f, 1ᴀ) = 1ᴀxf = xf
則，Hᴀ, Hᴬ 為 C 到 Set 的函子，Hᴀ 協變，Hᴬ 反變。
不知不覺，已經講到 霍姆函子啦，這個有些抽象，小石頭已經竭盡所能化繁為簡了，希望大家不要被繞暈了。
好了，這篇回答先到這裡，關於函子還有部分內容，我們留在下一次，作為自然變換的引子來講。自然變換用於揭示函子之間的某種關係，研究起來將會非常有趣呦！