首先這題的證明思路是證明r(AB)≦r(A)且r(AB)≦r(B),具體的這兩個關於矩陣秩的不等式證明是轉換成向量組的秩的不等式。

用向量組秩的比較定理:向量組(I)由向量組(II)線性表示，則r(I)≦r(II)。第一個不等式是證明AB的列向量組可以用A的列向量組線性表示，而第二個不等式的證明是證明AB的行向量組可用B的行向量組線性表示。現在你問第一個A按列分塊而第二個B按行分塊，是因為要保證兩個分塊矩陣相乘的條件:在作為普通矩陣可以相乘的前提下，兩個分塊矩陣要能夠相乘必須要保證左邊矩陣列的分法和右邊矩陣行的分法完全一致!現在為了證明這兩個不等式，必須把A和B中的一個按行或列分塊，並且要能說明AB的列或行向量組可以用A或B的列或行向量組線性表示，假如A按行分塊，那麼B的列就不能分，這樣儘管AB作為分塊矩陣也能乘，但不能說明AB的行向量組可以由A的行向量組線性表示，證不出第一個不等式，同理，第二個不等式證明中B也不能按列分!總之，總之，再強調一遍，之所以用兩種不同分法是為了既要保證乘積AB作為分塊矩陣可以相乘又要保證能說明AB的行或列向量組能由A或B的行或列向量組線性表示!另外這個例子的證明覆雜了，利用第一步r(AB)≦r(A)直接可得r(AB)=r((AB)^T)=r(B^T·A^T)≦r(B^T)=r(B).