E=mc^2【詳見下面證明的 9.】相對論公式及證明 符號 單位 符號 單位 座標(x,y,z)：m 力F(f)： N 時間t(T)： s 質量m(M): kg 位移r： m 動量p: kg*m/s 速度v(u)： m/s 能量E: J 加速度a： m/s^2 衝量： N*s 長度l(L)： m 動能Ek： J 路程s(S)： m 勢能Ep： J 角速度ω： rad/s 力矩： N*m 角加速度: rad/s^2α 功率P： W 牛頓力學（預備知識） (一)：質點運動學基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt (2)a=dv/dt,v=v0+∫adt (注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式) 當v不變時，(1)表示勻速直線運動。 當a不變時，(2)表示勻變速直線運動。 只要知道質點的運動方程r=r(t)，它的一切運動規律就可知了。 (二)：質點動力學： (1)牛一：一切物體在沒有受到力的作用時，總保持靜止狀態或勻速直線運動狀態。 (2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質量成反比。 F=ma=mdv/dt=dp/dt (3)牛三：作用在同一物體上的兩個力，如果等大反向作用在同一直線上，則二力平衡。 (4)萬有引力：兩質點間作用力與質量乘積成正比，與距離平方成反比。 F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 動量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的衝量等於動量的變化) 動量守恆：合外力為零時，系統動量保持不變。 動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等於動能的變化) 機械能守恆：只有重力做功時，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 (注：牛頓力學的核心是牛二：F=ma,它是運動學與動力學的橋樑，我們的目的是知道物體的運動規律，即求解運動方程r=r(t),若知受力情況，根據牛二可得a,再根據運動學基本公式求之。同樣，若知運動方程r=r(t),可根據運動學基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。) 狹義相對論力學 （注:“γ”為相對論因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u為慣性系速度。） 1．基本原理：（1）相對性原理：所有慣性系都是等價的。 （2）光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關的常數。 （此處先給出公式再給出證明） 2．洛侖茲座標變換： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．速度變換： V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 4．尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ 5．鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ 6．光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) （光源與探測器在一條直線上運動。） 7．動量表達式：P=Mv=γmv,即M=γm 8．相對論力學基本方程：F=dP/dt 9．質能方程：E=Mc^2 10．能量動量關係：E^2=(E0)^2+P^2c^2 （注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內進行，一種在四維時空中證明，實際上他們是等價的。） 三維證明 1．由實驗總結出的公理，無法證明。 2．洛侖茲變換： 設(x,y,z,t)所在座標系（A系）靜止，（X,Y,Z,T）所在座標系（B系）速度為u，且沿x軸正向。在A系原點處，x=0，B系中A原點的座標為X=-uT，即X+uT=0。 可令 x=k(X+uT) (1). 又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數（廣義相對論中，由於時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。）同理，B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K. 故有 X=k(x-ut) (2). 對於y,z,Y,Z皆與速度無關，可得 Y=y (3). Z=z (4). 將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即 T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5). (1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理,要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時，由重合點發出一光訊號，則對兩系分別有x=ct，X=cT. 代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得： k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得座標變換： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．速度變換： V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z)的表示式。 4．尺縮效應： B系中有一與x軸平行長l的細杆，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同時測量兩端的座標)，則△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ 5．鐘慢效應： 由座標變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地測量)，故△t=γ△T. （注：與座標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時，是不隨座標變換而變的客觀量。） 6．光的多普勒效應：（注：聲音的多普勒效應是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).） B系原點處一光源發出光訊號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鍾，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b)，波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b)，由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為 △t(a)=γ△t(b) (1). 探測器開始接收時刻為t1+x/c，最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c，則 △t(N)=(1+β)△t(a) (2). 相對運動不影響光訊號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即 ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3). 由以上三式可得： ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b). 7．動量表達式：（注：dt=γdτ,此時，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對於動力學質點可選自身為參考系，β=v/c） 牛頓第二定律在伽利略變換下，保持形勢不變，即無論在那個慣性系內，牛頓第二定律都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進行修正，要求是在座標變換下仍保持原有的簡潔形式。 牛頓力學中，v=dr/dt，r在座標變換下形式不變，（舊座標系中為(x,y,z)新座標系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個不變數（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv，將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm（相對論質量）則p=Mv.這就是相對論力學的基本量：相對論動量。（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算） 8．相對論力學基本方程：： 由相對論動量表達式可知： F=dp/dt，這是力的定義式，雖與牛頓第二定律的形式完全一樣，但內涵不一樣。（相對論中質量是變數） 9．質能方程： Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mc^2-mc^2 即E=Mc^2=Ek+mc^2 10．能量動量關係： E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2 四維證明 1．公理，無法證明。 2．座標變換：由光速不變原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔， dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1). 則對光訊號dS恆等於0，而對於任意兩時空點的dS一般不為0。dS^2>0稱類空間隔，dS^2<0稱類時間隔，dS^2=0稱類光間隔。相對論原理要求(1)式在座標變換下形式不變，因此(1)式中存在與座標變換無關的不變數，dS^2dS^2光速不變原理要求光訊號在座標變換下dS是不變數。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結論：dS是座標變換下的不變數。 由數學的旋轉變換公式有：（保持y,z軸不動，旋轉x和ict軸） X=xcosφ+(ict)sinφ icT=-xsinφ+(ict)cosφ Y=y Z=z 當X=0時，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ 得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．4．5．6．略。 7．動量表達式及四維向量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ） 令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。 則V=(γv,icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理） 四維動量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM) 四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F為三維力） 四維加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c) 則f=mdV/dτ=mω 8．略。 9．質能方程： fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0 故四維力與四維速度永遠“垂直”，（類似於洛倫茲磁場力） 由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v為三維向量，且Fv=dEk/dt(功率表達式)） 故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2 故E=Mc^2=Ek+mc^2
E=mc^2【詳見下面證明的 9.】相對論公式及證明 符號 單位 符號 單位 座標(x,y,z)：m 力F(f)： N 時間t(T)： s 質量m(M): kg 位移r： m 動量p: kg*m/s 速度v(u)： m/s 能量E: J 加速度a： m/s^2 衝量： N*s 長度l(L)： m 動能Ek： J 路程s(S)： m 勢能Ep： J 角速度ω： rad/s 力矩： N*m 角加速度: rad/s^2α 功率P： W 牛頓力學（預備知識） (一)：質點運動學基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt (2)a=dv/dt,v=v0+∫adt (注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式) 當v不變時，(1)表示勻速直線運動。 當a不變時，(2)表示勻變速直線運動。 只要知道質點的運動方程r=r(t)，它的一切運動規律就可知了。 (二)：質點動力學： (1)牛一：一切物體在沒有受到力的作用時，總保持靜止狀態或勻速直線運動狀態。 (2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質量成反比。 F=ma=mdv/dt=dp/dt (3)牛三：作用在同一物體上的兩個力，如果等大反向作用在同一直線上，則二力平衡。 (4)萬有引力：兩質點間作用力與質量乘積成正比，與距離平方成反比。 F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 動量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的衝量等於動量的變化) 動量守恆：合外力為零時，系統動量保持不變。 動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等於動能的變化) 機械能守恆：只有重力做功時，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 (注：牛頓力學的核心是牛二：F=ma,它是運動學與動力學的橋樑，我們的目的是知道物體的運動規律，即求解運動方程r=r(t),若知受力情況，根據牛二可得a,再根據運動學基本公式求之。同樣，若知運動方程r=r(t),可根據運動學基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。) 狹義相對論力學 （注:“γ”為相對論因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u為慣性系速度。） 1．基本原理：（1）相對性原理：所有慣性系都是等價的。 （2）光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關的常數。 （此處先給出公式再給出證明） 2．洛侖茲座標變換： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．速度變換： V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 4．尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ 5．鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ 6．光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) （光源與探測器在一條直線上運動。） 7．動量表達式：P=Mv=γmv,即M=γm 8．相對論力學基本方程：F=dP/dt 9．質能方程：E=Mc^2 10．能量動量關係：E^2=(E0)^2+P^2c^2 （注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內進行，一種在四維時空中證明，實際上他們是等價的。） 三維證明 1．由實驗總結出的公理，無法證明。 2．洛侖茲變換： 設(x,y,z,t)所在座標系（A系）靜止，（X,Y,Z,T）所在座標系（B系）速度為u，且沿x軸正向。在A系原點處，x=0，B系中A原點的座標為X=-uT，即X+uT=0。 可令 x=k(X+uT) (1). 又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數（廣義相對論中，由於時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。）同理，B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K. 故有 X=k(x-ut) (2). 對於y,z,Y,Z皆與速度無關，可得 Y=y (3). Z=z (4). 將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即 T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5). (1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理,要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時，由重合點發出一光訊號，則對兩系分別有x=ct，X=cT. 代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得： k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得座標變換： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．速度變換： V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z)的表示式。 4．尺縮效應： B系中有一與x軸平行長l的細杆，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同時測量兩端的座標)，則△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ 5．鐘慢效應： 由座標變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地測量)，故△t=γ△T. （注：與座標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時，是不隨座標變換而變的客觀量。） 6．光的多普勒效應：（注：聲音的多普勒效應是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).） B系原點處一光源發出光訊號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鍾，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b)，波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b)，由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為 △t(a)=γ△t(b) (1). 探測器開始接收時刻為t1+x/c，最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c，則 △t(N)=(1+β)△t(a) (2). 相對運動不影響光訊號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即 ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3). 由以上三式可得： ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b). 7．動量表達式：（注：dt=γdτ,此時，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對於動力學質點可選自身為參考系，β=v/c） 牛頓第二定律在伽利略變換下，保持形勢不變，即無論在那個慣性系內，牛頓第二定律都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進行修正，要求是在座標變換下仍保持原有的簡潔形式。 牛頓力學中，v=dr/dt，r在座標變換下形式不變，（舊座標系中為(x,y,z)新座標系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個不變數（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv，將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm（相對論質量）則p=Mv.這就是相對論力學的基本量：相對論動量。（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算） 8．相對論力學基本方程：： 由相對論動量表達式可知： F=dp/dt，這是力的定義式，雖與牛頓第二定律的形式完全一樣，但內涵不一樣。（相對論中質量是變數） 9．質能方程： Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mc^2-mc^2 即E=Mc^2=Ek+mc^2 10．能量動量關係： E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2 四維證明 1．公理，無法證明。 2．座標變換：由光速不變原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔， dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1). 則對光訊號dS恆等於0，而對於任意兩時空點的dS一般不為0。dS^2>0稱類空間隔，dS^2<0稱類時間隔，dS^2=0稱類光間隔。相對論原理要求(1)式在座標變換下形式不變，因此(1)式中存在與座標變換無關的不變數，dS^2dS^2光速不變原理要求光訊號在座標變換下dS是不變數。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結論：dS是座標變換下的不變數。 由數學的旋轉變換公式有：（保持y,z軸不動，旋轉x和ict軸） X=xcosφ+(ict)sinφ icT=-xsinφ+(ict)cosφ Y=y Z=z 當X=0時，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ 得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得： X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) 3．4．5．6．略。 7．動量表達式及四維向量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ） 令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。 則V=(γv,icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理） 四維動量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM) 四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F為三維力） 四維加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c) 則f=mdV/dτ=mω 8．略。 9．質能方程： fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0 故四維力與四維速度永遠“垂直”，（類似於洛倫茲磁場力） 由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v為三維向量，且Fv=dEk/dt(功率表達式)） 故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2 故E=Mc^2=Ek+mc^2