函式就是在某變化過程中有兩個變數X和Y，變數Y隨著變數X一起變化，而且依賴於X。如果變數X取某個特定的值，Y依確定的關係取相應的值，那麼稱Y是X的函式。這一要領是由法國數學家黎曼在19世紀提出來的，但是最早產生於德國的數學家菜布尼茨。他和牛頓是微積分的發明者。17世紀末，在他的文章中，首先使用了 “function" 一詞。翻譯成漢語的意思就是 “ 函式。不過，它和我們今天使用的函式一詞的內涵並不一樣，它表示 ” 冪 ” 、 “ 座標 ” 、 “ 切線長 ” 等概念。

直到18世紀，法國數學家達朗貝爾在進行研究中，給函式重新下了一個定義，他認為，所謂變數的函式，就是指由這些變數和常量所組成的解析表示式，即用解析式表達函式關係。後來瑞士的數學家尤拉又把函式的定義作了進一步的規範，他認為函式是能描畫出的一條曲線。我們常見到的一次函式的影象、二次函式的影象、正比例函式的影象、反比例的影象等都是用影象法表示函式關係的。如果用達朗貝爾和尤拉的方法來表達函式關係，各自有它們的優點，但是如果作為函式的定義，還有欠缺。因為這兩種方法都還停留在表面現象上，而沒有提示出函式的本質來。

19世紀中期，法國數學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和尤拉的成果，第一次準確地提出了函式的定義：如果某一個量依賴於另一個量，使後一個量變化時，前一個量也隨著變化，那麼就把前一個量叫做後一個量的函式。黎曼定義的最大特點在於它突出了就是之間的依賴、變化的關係，反映了函式概念的本質屬性。