定義弧長,必須有適當的上下界夾擠。一數值若只有下界,無上界夾擠,則取值很心虛。我們用折線近似曲線 ,折線長永遠小於弧長。我們需要某物,其長度永遠大於弧長。這樣才能用上夾擠法:
折線長度較小 … 弧長居中 … 某物長度較大
讓我們畫一個圓,畫一條垂直線與它相切,再從圓心出發,畫一條45度線。當線穿過圓時,和圓是相垂直的,當線穿出圓,它會撞上垂直線。
擦掉圓,只關注0度到45度這一段圓弧,想像0度位置的點P不動,把45度位置的那一點Q朝外推,企圖把弧朝外壓直。在壓的時後,我們看到Q的移動不會穿越那條45度直線,所以最後壓直的圓弧Q點在直線交點下方。也就是弧長小於截線段長度。
推廣來說,一弧的兩端點P,Q,做P的切線,它會被Q的垂線截斷。在視覺經驗上,此線段長度大於弧線長,這正是我們要的。
折線長度較小 … 弧長居中 … 切線截斷長度較大
這樣兩邊夾擠,就可以穩妥的定義弧長了。如果沒有上下夾擠,當數學家祖沖之在算圓周率時,他努力算圓內折線的長度,他怎麼知道現在精確度是多少呢?
另外有人故意發明碎形線,我們看看夾擠法的效果。碎形線是一串彎彎曲曲的折線。取線上兩點P,Q 。兩點間拉一直線 。 PQ線段長度顯然小於其間的彎彎曲曲折線長。另一方面,畫出P點的切線,Q點的垂線能截斷它嗎?有時能,有時不能,所以碎形線無穩妥的上下界夾擠,所以不能斬釘截鐵的說碎形線長度是多少。
定義弧長,必須有適當的上下界夾擠。一數值若只有下界,無上界夾擠,則取值很心虛。我們用折線近似曲線 ,折線長永遠小於弧長。我們需要某物,其長度永遠大於弧長。這樣才能用上夾擠法:
折線長度較小 … 弧長居中 … 某物長度較大
讓我們畫一個圓,畫一條垂直線與它相切,再從圓心出發,畫一條45度線。當線穿過圓時,和圓是相垂直的,當線穿出圓,它會撞上垂直線。
擦掉圓,只關注0度到45度這一段圓弧,想像0度位置的點P不動,把45度位置的那一點Q朝外推,企圖把弧朝外壓直。在壓的時後,我們看到Q的移動不會穿越那條45度直線,所以最後壓直的圓弧Q點在直線交點下方。也就是弧長小於截線段長度。
推廣來說,一弧的兩端點P,Q,做P的切線,它會被Q的垂線截斷。在視覺經驗上,此線段長度大於弧線長,這正是我們要的。
折線長度較小 … 弧長居中 … 切線截斷長度較大
這樣兩邊夾擠,就可以穩妥的定義弧長了。如果沒有上下夾擠,當數學家祖沖之在算圓周率時,他努力算圓內折線的長度,他怎麼知道現在精確度是多少呢?
另外有人故意發明碎形線,我們看看夾擠法的效果。碎形線是一串彎彎曲曲的折線。取線上兩點P,Q 。兩點間拉一直線 。 PQ線段長度顯然小於其間的彎彎曲曲折線長。另一方面,畫出P點的切線,Q點的垂線能截斷它嗎?有時能,有時不能,所以碎形線無穩妥的上下界夾擠,所以不能斬釘截鐵的說碎形線長度是多少。