（I）

因為X，Y相互獨立且均服從於正態分佈，所以Z=X-Y也服從於正態分佈．

又因為：

E（Z）=E（X-Y）=E（X）-E（Y）=μ-μ=0，

D（Z）=D（X-Y）=D（X）+D（Y）=3σ2，

所以：Z～N（0，3σ2），

從而可得Z的機率密度為：

fZ(z，σ2)=

1

2π

3σe?

z2

2?3σ2=

1

6πσe?

z2

6σ2，-∞＜z＜+∞．

（II）

σ2的最大似然函式為：

L（σ2）=

n

π

i＝1f(zi；σ2)=

n

π

i＝1(

1

6πσe?

zi2

6σ2)，-∞＜zi＜+∞，i=1，2，…，n．

兩邊取對數，得：

lnL（σ2）=

n

i＝1(?ln

6π?

1

2lnσ2?

zi2

6σ2)，

對上式兩邊求導，得：

d?lnL(σ2)

dσ2=

n

i＝1(?

1

2σ2+

zi2

6(σ2)2)=

1

6(σ2)2(?3nσ2+

n

i＝1zi2)．

令：

d?lnL(σ2)

dσ2=0，

可得：σ2=

1

3n

n

i＝1zi2，

所以σ2的極大似然估計量為：

σ2=

1

3n

n

i＝1zi2．

（III）

因為：E

σ2=

1

3n

n

i＝1E(zi2)=

1

3n?nE(Z2)=

1

3（D（Z）+（E（Z））2）=

1

3（3σ2+0）=σ2，

所以

σ2為σ2的無偏估計．