不等式的證明
1.比較法
作差作商後的式子變形,判斷正負或與1比較大小
作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0.
作商比較法---已知a,b都是正數,要證明a>b,只要證明a/b>1
例1求證:x2+3>3x
證明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥>0
∴x2+3>3x
例2已知a,bR+,並且a≠b,求證
a5+b5>a3b2+a2b3
證明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵a,bR+
∴a+b>0,a2+ab+b2>0
又因為a≠b,所以(a-b)2>0
∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴a5+b5>a3b2+a2b3
例3已知a,bR+,求證:aabb≥abba
證明:=
∵a,bR+,當a>b時,>1,a-b>0,>1;
當a≤b時,≤1,a-b≤0,≥1.
∴≥1,即aabb≥abba
綜合法
瞭解算術平均數和幾何平均數的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式
定理1如果a,bR,那麼a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取"="號)
證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
當且僅當a=b時取等號.所以
a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號).
定理2如果a,b,cR+,那麼a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時取"="號)
證明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴a3+b3+c3≥3abc,
很明顯,當且僅當a=b=c時取等號.
例1已知a,b,c是不全等的正數,求證
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放縮法
這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性—
a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大於或等於a的"b≤c就行了.
例,證明當k是大於1的整數時,,
我們可以用放縮法的一支——"逐步放大法",證明如下:
分析法
從要證明的不等式出發,尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們透過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由於是真命題,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的證明過程表現為一連串的"要證……,只要證……",最後推至已知條件或真命題
例求證:
證明:
構造圖形證明不等式
例:已知a,b,c都是正數,求證:
+>
分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯想到餘弦定理:c2=a2+b2-2abCosC,為了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
構造圖形如下,
AB=,
BC=,
AC=
顯然AB+BC>AC,故原不等式成立.
數形結合法
數形結合是指透過數與形之間的對應轉化來解決問題.數量關係如果藉助於圖形性質,可以使許多抽象概念和關係直觀而形象,有利於解題途徑的探求,這通常為以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關係的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數解形.數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,透過對圖形的認識,數形的轉化,可以培養思維的靈活性,形象性.透過數形結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化.
例.證明,當x>5時,≤x-2
解:令y1=,y2=x-2,從而原不等式的解集就是使函式y1>y2的x的取值範圍.在同一座標系中分別作出兩個函式的圖象.設它們交點的橫座標是x0,則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據圖形,很顯然成立.
反證法
先假定要證不等式的反面成立,然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立.
窮舉法
對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重複或遺漏某一可能情況).
注意:在證明不等式時,應靈活運用上述方法,並可透過運用多種方法來提高自己的思維能力.
不等式的證明
1.比較法
作差作商後的式子變形,判斷正負或與1比較大小
作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0.
作商比較法---已知a,b都是正數,要證明a>b,只要證明a/b>1
例1求證:x2+3>3x
證明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥>0
∴x2+3>3x
例2已知a,bR+,並且a≠b,求證
a5+b5>a3b2+a2b3
證明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵a,bR+
∴a+b>0,a2+ab+b2>0
又因為a≠b,所以(a-b)2>0
∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴a5+b5>a3b2+a2b3
例3已知a,bR+,求證:aabb≥abba
證明:=
∵a,bR+,當a>b時,>1,a-b>0,>1;
當a≤b時,≤1,a-b≤0,≥1.
∴≥1,即aabb≥abba
綜合法
瞭解算術平均數和幾何平均數的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式
定理1如果a,bR,那麼a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取"="號)
證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
當且僅當a=b時取等號.所以
a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號).
定理2如果a,b,cR+,那麼a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時取"="號)
證明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴a3+b3+c3≥3abc,
很明顯,當且僅當a=b=c時取等號.
例1已知a,b,c是不全等的正數,求證
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放縮法
這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性—
a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大於或等於a的"b≤c就行了.
例,證明當k是大於1的整數時,,
我們可以用放縮法的一支——"逐步放大法",證明如下:
分析法
從要證明的不等式出發,尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們透過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由於是真命題,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的證明過程表現為一連串的"要證……,只要證……",最後推至已知條件或真命題
例求證:
證明:
構造圖形證明不等式
例:已知a,b,c都是正數,求證:
+>
分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯想到餘弦定理:c2=a2+b2-2abCosC,為了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
構造圖形如下,
AB=,
BC=,
AC=
顯然AB+BC>AC,故原不等式成立.
數形結合法
數形結合是指透過數與形之間的對應轉化來解決問題.數量關係如果藉助於圖形性質,可以使許多抽象概念和關係直觀而形象,有利於解題途徑的探求,這通常為以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關係的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數解形.數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,透過對圖形的認識,數形的轉化,可以培養思維的靈活性,形象性.透過數形結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化.
例.證明,當x>5時,≤x-2
解:令y1=,y2=x-2,從而原不等式的解集就是使函式y1>y2的x的取值範圍.在同一座標系中分別作出兩個函式的圖象.設它們交點的橫座標是x0,則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據圖形,很顯然成立.
反證法
先假定要證不等式的反面成立,然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立.
窮舉法
對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重複或遺漏某一可能情況).
注意:在證明不等式時,應靈活運用上述方法,並可透過運用多種方法來提高自己的思維能力.