回覆列表
  • 1 # 使用者8616219450500

    不等式的證明

    1.比較法

    作差作商後的式子變形,判斷正負或與1比較大小

    作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0.

    作商比較法---已知a,b都是正數,要證明a>b,只要證明a/b>1

    例1求證:x2+3>3x

    證明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3

    =+≥>0

    ∴x2+3>3x

    例2已知a,bR+,並且a≠b,求證

    a5+b5>a3b2+a2b3

    證明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)

    =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)

    =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)

    ∵a,bR+

    ∴a+b>0,a2+ab+b2>0

    又因為a≠b,所以(a-b)2>0

    ∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0

    即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0

    ∴a5+b5>a3b2+a2b3

    例3已知a,bR+,求證:aabb≥abba

    證明:=

    ∵a,bR+,當a>b時,>1,a-b>0,>1;

    當a≤b時,≤1,a-b≤0,≥1.

    ∴≥1,即aabb≥abba

    綜合法

    瞭解算術平均數和幾何平均數的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式

    定理1如果a,bR,那麼a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取"="號)

    證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0

    當且僅當a=b時取等號.所以

    a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號).

    定理2如果a,b,cR+,那麼a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時取"="號)

    證明:∵a3+b3+c3-3abc

    =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

    =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)

    =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0

    ∴a3+b3+c3≥3abc,

    很明顯,當且僅當a=b=c時取等號.

    例1已知a,b,c是不全等的正數,求證

    a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.

    放縮法

    這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性—

    a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大於或等於a的"b≤c就行了.

    例,證明當k是大於1的整數時,,

    我們可以用放縮法的一支——"逐步放大法",證明如下:

    分析法

    從要證明的不等式出發,尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們透過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由於是真命題,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的證明過程表現為一連串的"要證……,只要證……",最後推至已知條件或真命題

    例求證:

    證明:

    構造圖形證明不等式

    例:已知a,b,c都是正數,求證:

    +>

    分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯想到餘弦定理:c2=a2+b2-2abCosC,為了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,

    這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊

    可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊

    可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊

    構造圖形如下,

    AB=,

    BC=,

    AC=

    顯然AB+BC>AC,故原不等式成立.

    數形結合法

    數形結合是指透過數與形之間的對應轉化來解決問題.數量關係如果藉助於圖形性質,可以使許多抽象概念和關係直觀而形象,有利於解題途徑的探求,這通常為以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關係的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數解形.數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,透過對圖形的認識,數形的轉化,可以培養思維的靈活性,形象性.透過數形結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化.

    例.證明,當x>5時,≤x-2

    解:令y1=,y2=x-2,從而原不等式的解集就是使函式y1>y2的x的取值範圍.在同一座標系中分別作出兩個函式的圖象.設它們交點的橫座標是x0,則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據圖形,很顯然成立.

    反證法

    先假定要證不等式的反面成立,然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立.

    窮舉法

    對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重複或遺漏某一可能情況).

    注意:在證明不等式時,應靈活運用上述方法,並可透過運用多種方法來提高自己的思維能力.

  • 中秋節和大豐收的關聯?
  • 成語故事,雞飛狗跳?