定性理解：

時間平移對稱性：系統時間的不同不影響系統的力學屬性，不同時間能量守恆，體現了時間的均勻性（homogeneous）。

空間平移對稱性：系統中的位置不影響系統的力學屬性，不同位置動量守恆，體現了慣性系中的空間均勻性（homogeneous）。

空間旋轉對稱性：系統的朝向不影響系統的力學屬性，不同朝向角動量守恆。體現了空間的各向同性（isotropic）。

要真正理解這個概念，最直觀的方式我想是透過拉格朗日量（Lagrangian）：一個可以描述整個系統運動資訊的函式，定義為動能項與勢能項的差： 。寫出此量後，尤拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）可以描述系統的運動：

推導：

下面利用拉格朗日量，從對稱性推出守恆量：

由於慣性系內時間是均勻的，可以理解為沒有哪個時間點更為特殊，拉式量不限含時間，有：

，所以拉式量關於時間的全微分有： ，用尤拉拉格朗日方程換掉 得到： 。

對於定常系統（scleronomic，座標約束不顯含時間），可求得動能T有：

所以 ，H表示系統能量，能量守恆。

慣性系內空間也是均勻的，考慮把整個系統平移一小段無窮小距離，拉式量應該不變。為了省事，這裡只寫了一個粒子在笛卡爾座標系下的表示，但是不失普遍性，反正大喊求和就可以表示一堆粒子了。

為對於系統內每個位置向量 都移到 ，拉式量對應變化為：

各個位移都是獨立的所以上式成立當且僅當 ，也就是 ，勢能不顯含速度，所以就是 ,系統動量守恆。

由空間各向同性，朝向不影響系統的力學屬性。你在北京面對麥加方向面對的力學定律與你面對紐約時候面對的力學定律是一樣的。這可以表示為：在系統旋轉一個無窮小角度的時候，系統的拉格朗日量不變。（這其實是一個很有趣的點，因為旋轉一般都是不符合交換律的，幾個旋轉的操作順序不能隨便交換，然而我們可以用一個向量來表示無窮小旋轉以此來表示特定旋轉狀態。。。）

設一個系統的矢徑（可以代表系統朝向）為向量r，向量r沿特定軸旋轉一個無窮小角度 對應一個向量 ，且有 ，如圖：

由各向同性，速度向量一樣應該不隨旋轉改變，所以有：

假如只考慮一個粒子，帶入笛卡爾座標下的拉格朗日量得到系統拉式量的變化：

，由動量： 得到：

於是角動量守恆。