最近在讀Sakurai，剛好可以來回答這個問題。

Sakurai裡面講平移變換的時候，引用了Goldstein的內容，指出在經典力學中，我們應該用正則變換母函式的概念來說明動量是平移的生成元這一事實。（詳情可以參考Goldstein第九章）

對正則變換 ， ， ，生成函式

則有 ， ，

現在考慮無窮小正則變換 ，

對這個變換一個合適的生成函式是

所以 ，

比對就可以得到 ，

根據泊松括號定義不難寫出 ，

再考慮 ，生成函式 是哈密頓量，則

（ 表示所有正則變數）

這說明此正則變換使 時刻的座標和動量值變換到了 時刻的值，所以就有了哈密頓量是時間平移的生成元這個說法。

現在把考慮的座標換成一般力學量 ，無窮小正則變換下

對哈密頓量

故

這就說明守恆量是使哈密頓量保持不變的那些無窮小正則變換的生成函式。

對平移變換的情況，只需 ，即得

， ，即生成了平移變換，所以說（在經典力學中）動量是平移變換的生成元。

所以就會有Sakurai書上 就可以生成平移變換，

是恆等變換，配上虛數 再配好量綱就有平移算符

（似乎也能用 理解），故

就是我們常見的形式。

第一次寫回答，如果有錯誤，希望及時指正。

馬上就要考數理期末了，我在幹什麼呢 ╮(╯_╰)╭