證明f（x+T）=f（x）即可。週期函式的判定方法分為以下幾步：（1）判斷f（x）的定義域是否有界；例：f（x）=cosx（≤10）不是週期函式。（2）根據定義討論函式的週期性可知非零實數T在關係式f（x+T）= f（x）中是與x無關的，故討論時可透過解關於T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出與x無關的非零常數T便可斷定函式f（x）是週期函式，若這樣的T不存在則f（x）為非週期函式。例：f（x）=cosx^2 是非週期函式。（3）一般用反證法證明。（若f（x）是週期函式，推出矛盾，從而得出f（x）是非週期函式）。例：證f（x）=ax+b(a≠0）是非週期函式。證：假設f（x）=ax+b是週期函式，則存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0與T≠0矛盾，∴f（x）是非週期函式。擴充套件資料：對於函式y=f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那麼就把函式y=f（x）叫做週期函式，不為零的常數T叫做這個函式的週期。事實上，任何一個常數kT（k∈Z，且k≠0）都是它的週期。並且週期函式f（x）的週期T是與x無關的非零常數，且週期函式不一定有最小正週期。週期函式的性質共分以下幾個型別：（1）若T（≠0）是f（x）的週期，則-T也是f（x）的週期。（2）若T（≠0）是f（x）的週期，則nT（n為任意非零整數）也是f（x）的週期。（3）若T1與T2都是f（x）的週期，則T1±T2也是f（x）的週期。（4）若f（x）有最小正週期T*，那麼f（x）的任何正週期T一定是T*的正整數倍。（5）若T1、T2是f（x）的兩個週期，且T1/T2是無理數，則f（x）不存在最小正週期。（6）週期函式f（x）的定義域M必定是至少一方無界的集合。若f（x）是集M上以T*為最小正週期的週期函式，則f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a為最小正週期的週期函式，（其中a、b為常數）。證：先證f（ax+b）的週期。∵T*是f（x）的週期，∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替換x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此時ax+b∈M，提取a為公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）∴T*/a是f（ax+b）的週期。再證是f（ax+b）的最小正週期。假設存在T’/a（0