函式的週期性是函式的一個重要性質．對一般函式f(x)的週期，不少中學生往往不知從何入手去求．為了加深對函式f(x)週期概念的理解，
本文以例項來說明求函式f(x)週期的幾種常見方法，請參考．
一、定義法
根據週期函式的定義以及題設中f(x)本身的性質推匯出函式的週期的方法稱為定義法．
(1) ∴f(x)為週期函式，且2a 是它的一個週期． 注：如果題設函式方程中只有一邊含有不為零的常數a，另一邊與 a 無關，這時週期T 應
取決於a，假設T 能被a 整除，就分別試算f(x＋ 2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，當出現f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式時，就可知T 是f(x)的
週期． 週期函式，若是，求出它的週期；若不是，說明理由． (1) ∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a] (2) ∴f(x)為週期函式，3a 是它的週期．
二、特殊值法
當題設條件中有f(m)＝n(m，n 為常數)時，常常以此條件為突破口，採用特殊值法解即可奏效． f(x)是不是週期函式．若是，求出它的一
個週期；若不是，說明理由． ∴f(x)為週期函式，2π 是它的一個週期．
三、變數代換法
設函式f(x)在R 上有定義，且對於任意x 都有f(x＋1995)＝ f(x＋1994)＋f(x＋1996)，試判斷f(x)是否週期函式．若是，求出它的一個週期
；若不是，說明理由． 在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996) (x∈R)中，以x 代x ＋1995，得 f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)； (1) 在(1)中
以x＋1 代x，得 f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)． (2) (1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0， ∴f(x－1)＝－f(x＋2)． (3) 在(3)中以x＋1 代x
，得 f(x)＝－f(x＋3)； (4) 在(4)中以x＋3 代x，得 f(x＋3)＝－f(x＋6)． (5) 將(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)． ∴f(x)為週期函式
，6 是它的一個週期．
四、遞推法
f(x)是不是週期函式．若是，求出它的一個週期；若不是，說明理由． (1) 在(1)中以x＋2 代x，得 f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)． (2)
(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0， ∴f(x)＝－f(x＋6)． (3) 在(3)中以x＋6 代x，得 f(x＋6)＝－f(x＋12)． (4) (4)代入(3)，得f(x＋
12)＝f(x)． ∴f(x)為週期函式，12 是它的一個週期．
五、消去法
若函式f(x)定義在R 上，且對一切實數x，都有f (5＋x)＝f (5－x)，f (7＋x)＝ f (7－x)，試判斷f(x)是不是週期函式．若是，求出它的
一個週期；若不是，說明理由． 在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x 代x，得 f(x)＝f(10－x)； (1) 在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x 代x，得 f
(x)＝f(14－x)． (2) 由(1)和(2)，得 f(10－x)＝f(14－x)． (3) 在(3)中以10－x 代x，得f(x＋4)＝f(x)． ∴f(x)是週期函式，4 為它
的一個週期．
六、結構類比法
f(x)是不是週期函式．若是，求出它的一個週期；若不是，說明理由． 可視sinx 為本題中f(x)的一個例項，由此可設想f(x)為週期函式，
且2π 是它的一個週期．下面進行證明： 於是f(x＋2π )＝f[(x＋π )＋π ]＝－f(x＋π )＝f(x)． ∴f(x)為週期函式，2π 是它的一個
週期．
七、公式法
已知y＝f(x)(x∈R)的圖象是連續的曲線，且f(x)不為常數， f(x)的圖象關於直線x＝a 和直線x＝b 對稱(a＜b)． (1)求證：f(x)＝f(2a－
x)，f(x)＝f(2b－x)； (2)求證f(x)是週期函式，並求出它的一個正週期． (1)∵ f(x)的圖象關於直線x＝a 對稱，且圖象連續，不是平行
於x 軸的直線， ∴設P(x，y)為曲線上任一點，點P 關於x＝a 的對稱點P"的座標為P"(x"，y"), 同理可證 f(x)＝f(2b－x)． (2)由(1)可知
，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)， ∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x 代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)． ∵a＜b，2b－2a＞0 且為常數， ∴f
(x)是週期函式，2b－2a 為它的週期． 由例8 可得到如下的 若函式y＝f(x)(x∈R)的圖象關於直線x＝a 和直線x＝b(a ＜b)對稱，且在這兩
條直線之間再無對稱軸，那麼f(x)是週期函式，2b －2a 為它的週期． 此定理可當作一個公式用，如例6 中函式f(x)的週期為2 7－2 5 ＝4
．
函式的週期性是函式的一個重要性質．對一般函式f(x)的週期，不少中學生往往不知從何入手去求．為了加深對函式f(x)週期概念的理解，
本文以例項來說明求函式f(x)週期的幾種常見方法，請參考．
一、定義法
根據週期函式的定義以及題設中f(x)本身的性質推匯出函式的週期的方法稱為定義法．
(1) ∴f(x)為週期函式，且2a 是它的一個週期． 注：如果題設函式方程中只有一邊含有不為零的常數a，另一邊與 a 無關，這時週期T 應
取決於a，假設T 能被a 整除，就分別試算f(x＋ 2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，當出現f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式時，就可知T 是f(x)的
週期． 週期函式，若是，求出它的週期；若不是，說明理由． (1) ∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a] (2) ∴f(x)為週期函式，3a 是它的週期．
二、特殊值法
當題設條件中有f(m)＝n(m，n 為常數)時，常常以此條件為突破口，採用特殊值法解即可奏效． f(x)是不是週期函式．若是，求出它的一
個週期；若不是，說明理由． ∴f(x)為週期函式，2π 是它的一個週期．
三、變數代換法
設函式f(x)在R 上有定義，且對於任意x 都有f(x＋1995)＝ f(x＋1994)＋f(x＋1996)，試判斷f(x)是否週期函式．若是，求出它的一個週期
；若不是，說明理由． 在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996) (x∈R)中，以x 代x ＋1995，得 f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)； (1) 在(1)中
以x＋1 代x，得 f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)． (2) (1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0， ∴f(x－1)＝－f(x＋2)． (3) 在(3)中以x＋1 代x
，得 f(x)＝－f(x＋3)； (4) 在(4)中以x＋3 代x，得 f(x＋3)＝－f(x＋6)． (5) 將(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)． ∴f(x)為週期函式
，6 是它的一個週期．
四、遞推法
f(x)是不是週期函式．若是，求出它的一個週期；若不是，說明理由． (1) 在(1)中以x＋2 代x，得 f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)． (2)
(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0， ∴f(x)＝－f(x＋6)． (3) 在(3)中以x＋6 代x，得 f(x＋6)＝－f(x＋12)． (4) (4)代入(3)，得f(x＋
12)＝f(x)． ∴f(x)為週期函式，12 是它的一個週期．
五、消去法
若函式f(x)定義在R 上，且對一切實數x，都有f (5＋x)＝f (5－x)，f (7＋x)＝ f (7－x)，試判斷f(x)是不是週期函式．若是，求出它的
一個週期；若不是，說明理由． 在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x 代x，得 f(x)＝f(10－x)； (1) 在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x 代x，得 f
(x)＝f(14－x)． (2) 由(1)和(2)，得 f(10－x)＝f(14－x)． (3) 在(3)中以10－x 代x，得f(x＋4)＝f(x)． ∴f(x)是週期函式，4 為它
的一個週期．
六、結構類比法
f(x)是不是週期函式．若是，求出它的一個週期；若不是，說明理由． 可視sinx 為本題中f(x)的一個例項，由此可設想f(x)為週期函式，
且2π 是它的一個週期．下面進行證明： 於是f(x＋2π )＝f[(x＋π )＋π ]＝－f(x＋π )＝f(x)． ∴f(x)為週期函式，2π 是它的一個
週期．
七、公式法
已知y＝f(x)(x∈R)的圖象是連續的曲線，且f(x)不為常數， f(x)的圖象關於直線x＝a 和直線x＝b 對稱(a＜b)． (1)求證：f(x)＝f(2a－
x)，f(x)＝f(2b－x)； (2)求證f(x)是週期函式，並求出它的一個正週期． (1)∵ f(x)的圖象關於直線x＝a 對稱，且圖象連續，不是平行
於x 軸的直線， ∴設P(x，y)為曲線上任一點，點P 關於x＝a 的對稱點P"的座標為P"(x"，y"), 同理可證 f(x)＝f(2b－x)． (2)由(1)可知
，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)， ∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x 代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)． ∵a＜b，2b－2a＞0 且為常數， ∴f
(x)是週期函式，2b－2a 為它的週期． 由例8 可得到如下的 若函式y＝f(x)(x∈R)的圖象關於直線x＝a 和直線x＝b(a ＜b)對稱，且在這兩
條直線之間再無對稱軸，那麼f(x)是週期函式，2b －2a 為它的週期． 此定理可當作一個公式用，如例6 中函式f(x)的週期為2 7－2 5 ＝4
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