不寫歸納概括的字了，看看這樣說能不能釋疑。

， 趨於1時， 的極限是3，

可以等於3嗎？

這要看 能不能等於1。顯然不能，所以 與 趨於1時的極限3之間只能是在趨近過程中無限接近而不會相等。

對另一種函式，例如 ， 趨於1時 的極限為6, 能不能等於6？這要看 能不能等於1。顯然是可以的。

所以極限定義中的“趨於”只能無限接近，不能相等，是去心鄰域。這是為了描述 的情況；對於 這種函式，由於可以取值，所以在極限定義中去掉去心鄰域來定義連續的概念，所以數學裡的定義是對實際情況的描述。

趨於1時， 的極限是3可以這樣求：

對 這類函式時，由於 不能取某個實數（例如1）,

而我們由於實際需要，又想求出函式 的自變數取1時的函式值，

從影象來看，

的影象只是把 的點摳掉,而這條沒有摳掉1點的直線的函式，很容易知道是 ,當 時，值是3.

所以我們從函式 的自變數不能取1但是必須求出取1時函式的值出發，從影象上很明顯看出 的自變數取1時的值等於函式 取1時的值，就得到了

求一個函式的自變數不能取某點時的值（極限）的方法，即把它轉化為與它只有這個點不相等的另一個可以取該點的函式的在該點的函式值，即

令 ,

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求值的情況，就是有的可以直接取 ，有的不能。

在極限定義裡，為了描述不能取的情況，就需要去心鄰域，能取的情況，就是連續函式的情況，不需要去心鄰域。

為了籠統地把這兩種情況包括進極限的定義，在定義時限定必須用去心鄰域，因為即使是連續函式的情況，依然可以適用限定了去心鄰域的 的極限定義。