反證法。假設一個三角形不是等邊三角形，則至少有一個角大於60°，至少有一個角小於60°，另一個未定。大於60°和小於60°的必然會共邊，可以是AB、BC、CA任一。只要一個不成立，其他也可以用一樣的方法證明。我們從∠A大於60°，∠B小於60°的情況出發。我們可以從AB做一個三角形A’B’C’，使A’B’在AB上，且∠BA’E=60°，∠AB"F=60°。A’E和B"F相交於C"，則A’B’C’是等邊三角形，從三角形外角定理可得到∠C"EF=∠A"DE=∠B"FD;所以∠EFC"=∠DEA"=∠FDB";且EF=DE=FD,所以△EFC"、△DEA"、△FDB"相互全等。所以DA"=EC"=FB"。∠DAE>60°=∠DA"E；如果DA"<DA，由三角形外角定理可得，∠DA"E=∠DAE+∠AEA">∠DAE，則∠DAE＜60°，與設定矛盾，所以必然DA">DA。同理，∠DBF<60°=∠DB"F；所以DB"<DB。∠BB"F=120°＞∠B"BF，三角形大角對大邊，所以FB>FB"=DA">DA;故，A大於60°，B小於60°時，DA和FB不可能相等；同理可證，A大於60°，C小於60°時，DA和EC不可能相等；同理可證，B大於60°，C小於60°時，FB和EC不可能相等；同理可證，B大於60°，A小於60°時，FB和DA不可能相等；同理可證，C大於60°，A小於60°時，EC和DA不可能相等；同理可證，C大於60°，B小於60°時，EC和FB不可能相等；所以只要ABC不是等邊三角形,就不可能滿足DA=EC=FB。故如果DA=EC=FB，則A和A"重合，B和B"重合，C和C"重合，ABC就是等邊三角形。得證。
反證法。假設一個三角形不是等邊三角形，則至少有一個角大於60°，至少有一個角小於60°，另一個未定。大於60°和小於60°的必然會共邊，可以是AB、BC、CA任一。只要一個不成立，其他也可以用一樣的方法證明。我們從∠A大於60°，∠B小於60°的情況出發。我們可以從AB做一個三角形A’B’C’，使A’B’在AB上，且∠BA’E=60°，∠AB"F=60°。A’E和B"F相交於C"，則A’B’C’是等邊三角形，從三角形外角定理可得到∠C"EF=∠A"DE=∠B"FD;所以∠EFC"=∠DEA"=∠FDB";且EF=DE=FD,所以△EFC"、△DEA"、△FDB"相互全等。所以DA"=EC"=FB"。∠DAE>60°=∠DA"E；如果DA"<DA，由三角形外角定理可得，∠DA"E=∠DAE+∠AEA">∠DAE，則∠DAE＜60°，與設定矛盾，所以必然DA">DA。同理，∠DBF<60°=∠DB"F；所以DB"<DB。∠BB"F=120°＞∠B"BF，三角形大角對大邊，所以FB>FB"=DA">DA;故，A大於60°，B小於60°時，DA和FB不可能相等；同理可證，A大於60°，C小於60°時，DA和EC不可能相等；同理可證，B大於60°，C小於60°時，FB和EC不可能相等；同理可證，B大於60°，A小於60°時，FB和DA不可能相等；同理可證，C大於60°，A小於60°時，EC和DA不可能相等；同理可證，C大於60°，B小於60°時，EC和FB不可能相等；所以只要ABC不是等邊三角形,就不可能滿足DA=EC=FB。故如果DA=EC=FB，則A和A"重合，B和B"重合，C和C"重合，ABC就是等邊三角形。得證。