S=∫|y|dx

=∫a(1-cost)dx（∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）

又∵x=a(t-sint)

∴dx=a(1-cost)dt

S=∫(0,2π)a2(1-cost)2dt

=a2∫(0,2π)(1-cost)2dt

=a2∫(0,2π)(1+cos2t-2cost)dt

=a2∫(0,2π)[1+(1+cos2t)/2-2cost]dt

=a2∫(0,2π)(3/2+cos2t/2-2cost)dt

=a2[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)

=3πa2

由擺線x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱與橫軸所圍圖形的面積為3π*a^2。

解：根據定積分求面積公式，以x為積分變數，

可得擺線的一拱與橫軸所圍圖形的面積S為，

S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))

=∫a^2(1 -cost)^2dt

又由於擺線的一拱內，0≤t≤2π，所以面積為，

S=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt

=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt

=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt

=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)(1+cos2t)dt

=3/2*a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)cos2tdt

=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)

=3π*a^2

擺線(cycloid)是數學中眾多的迷人曲線之一。它是這樣定義的：一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線。