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  • 1 # 使用者8108804039310

    1. 從應用的角度考慮,線性空間與線性變換是處理類似問題的一個統一模式。比如,對函式的求導數是一個線性變換,平面上向量的旋轉是一個線性變換,等等。

    2. 向量空間的本質是它的兩個運算及8條運算規則,任何其它的概念與性質都是由這些匯出的。線性變換是和這兩個運算相容的對映或變換:先運算後變換與先變換後運算的結果一致。

    3. 在某種意義下,線性變換可以等同於矩陣。線性變換的研究可以轉化為矩陣的研究。

    4. 線性變換是線性對映的特例。線性對映是比較兩個線性空間的主要工具,最基本的問題是如何判斷兩個線性空間同構,即,它們之間是否存在保持運算的雙射。

    5. 兩個代數結構之間的保持運算的對映,稱為同態(更一般的概念是物件之間的態射,這是範疇與函子的語言)。線性空間是非常基本的代數結構,線性對映正是這種代數結構之間的同態。

    6. 線性變換研究的基本問題是:化簡問題。線性變換由它在一組基上的取值所唯一確定。化簡是指:如何選取適當的基,使得線性變換在這組基下的矩陣具有簡單的形式,簡單的矩陣一般指對角矩陣(兩個對角矩陣乘積可交換)。這就引出特徵值與特徵向量的概念以及一些列的問題。

    8. 作為最基礎的代數結構,向量空間是構造其它更復雜的代數結構的基石。就像蓋高樓大廈一樣,向量空間只相當於其框架結構。

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