證法一（不涉及半周長）

三角形是最簡單的多邊形，且三角形具有穩定性，即三條邊對應相等的三角形是全等的。

但任意給三條邊就一定能構成一個三角形嗎？不一定！

這裡要引入一個概念：“影子邊”。一條邊的“影子邊”等於另外兩條邊之和減去這條邊，我們用 表示 的“影子邊”，就有 。

顯然， 三條邊能構成三角形當且僅當 （ 表示乘法）

也很容易證明： 。

有了“影子邊”的概念，就可以給出海倫公式的一種表達形式了（ 表示 的面積）：

特別地，如果 ，那麼 。證明如下：

因為 和勾股定理，有 和 ，所以

同理很容易證明當 是直角時，

一般地，

注意這個式子裡面只有 ，沒有單獨出現的 ，實在太美妙了！

把餘弦定理 代入上式：

思考題：如何利用海倫公式求任意三角形的內切圓的半徑？

至於海倫公式的幾何意義，我認為海倫公式沒!有!直!觀!的!幾!何!意!義!

證法二（翻譯自下面 @數學史大叔 推薦的論文）

如圖所示的三角形ABC，三條內角平分線相交於點O，即三角形ABC的內切圓的圓心。把左邊的三個具有代表性的三角形翻轉旋轉後放到右邊。可以發現向量 對應的複數為 ，向量 對應的複數為 ，向量 對應的複數為 ，

因為 ，所以 等於一個小於0的實數，即虛部等於0，即 ，所以 ，又易知三角形的面積 ，所以 。

令p=x+y+z（即p為半周長），又令點A、點B、點C的對邊邊長分別為a、b、c，很容易發現a=p-x、b=p-y、c=p-z，於是就能推出海倫公式：

附餘弦定理的證明：

以上面那個三角形為例，假設C點位於原點，B點的座標為 ，則C點的座標為 ，於是