x 後面的是下標，不是次方，否則不是線性方程組。

增廣矩陣 （A, b) =

[1 1 3 -1 1]

[3 -1 -3 4 4]

[1 5 9 -8 0]

初等行變換為

[1 1 3 -1 1]

[0 -4 -15 7 1]

[0 4 6 -7 -1]

初等行變換為

[1 1 3 -1 1]

[0 4 15 -7 -1]

[0 0 -9 0 0]

初等行變換為

1 1 0 -1 1]

[0 4 0 -7 -1]

[0 0 1 0 0]

r(A,b) = r(A) = 3

方程組同解變形為

x1+x2 = 1+x4

4x2 = -1+7x4

x3 = 0

令 x4 = -1, 得特解 (2, -2, 0, -1)^T,

匯出組為

x1+x2 = x4

4x2 = 7x4

x3 = 0

令 x4 = 4, 得基礎解系 (-3, 7, 0, 4)^T，

則通解是 x = (2, -2, 0, -1)^T+k (-3, 7, 0, 4)^T