解: 增廣矩陣 =

1 1 2 3 1

1 3 6 1 3

3 -1 k 15 3

1 -5 -10 12 f

r3-r1-r2-r4, r2-r1,r4-r1

1 1 2 3 1

0 2 4 -2 2

0 0 k+2 -1 -f-1

0 -6 -12 9 f-1

r2*(1/2),r1-r2,r4+6r2

1 0 0 4 0

0 1 2 -1 1

0 0 k+2 -1 -f-1

0 0 0 3 f+5

當 k≠-2時, 方程組有唯一解.

當 k=-2時,

r4+3r3

1 0 0 4 0

0 1 2 -1 1

0 0 0 -1 -f-1

0 0 0 0 -2f+2

此時, 若 f≠1 則方程組無解

當f=1時

1 0 0 4 0

0 1 2 -1 1

0 0 0 -1 -2

0 0 0 0 0

r1+4r3,r2-r3,r3*(-1)

1 0 0 0 -8

0 1 2 0 3

0 0 0 1 2

0 0 0 0 0

方程組的全部解為: (-8,3,0,2)"+c1(0,-2,1,0)".

綜上有:

當 k≠-2時, 方程組有唯一解.

當 k=-2,f≠1時, 方程組無解

當 k=-2,f=1時, 方程組有無窮多解

此時, 方程組的全部解為: (-8,3,0,2)"+c1(0,-2,1,0)".