證明：用反證法.
假設存在集合A有上界M但沒有上確界,設a為A中的一個元素.則a考慮閉區間[a,M]上的每一個元素x,取它的一個鄰域I[x],具體取法如下：
(1)如果x是A的上界,那麼由反證假設知x不是A的上確界,即存在比x更小的A的上界x".取I[x]=(x",2x-x").顯然I[x]內的所有元素都是A的上界.
(2)如果x不是A的上界,那麼必存在A的元素a"使得a">x.取I[x]=(2x-a",a").顯然I[x]內的所有元素都不是A的上界.
這樣對閉區間[a,M]上的每一個元素x,它都屬於它的鄰域,即我們構造了一個閉區間[a,M]的無限開覆蓋.由有限覆蓋定理,其中必存在有限個鄰域覆蓋整個區間.
在這有限個鄰域中取所有滿足x是A的上界（即條件(1)）的區間I[x],設這些區間的左端點（共有限個）的最小值為x0.顯然x0是A的一個上界.
考慮x0,顯然x0∈[a,M],但x0卻不屬於有限個區間中的任何一個.這是因為它既不屬於由條件(1)構造的I[x]（它比這些區間中的任何數都小）,也不屬於由條件(2)構造的I[x]（這些區間中所有的數都不是A的上界）.這就構成了矛盾!
對於下界及下確界的情況完全類似.
證畢.
證明：用反證法.
假設存在集合A有上界M但沒有上確界,設a為A中的一個元素.則a考慮閉區間[a,M]上的每一個元素x,取它的一個鄰域I[x],具體取法如下：
(1)如果x是A的上界,那麼由反證假設知x不是A的上確界,即存在比x更小的A的上界x".取I[x]=(x",2x-x").顯然I[x]內的所有元素都是A的上界.
(2)如果x不是A的上界,那麼必存在A的元素a"使得a">x.取I[x]=(2x-a",a").顯然I[x]內的所有元素都不是A的上界.
這樣對閉區間[a,M]上的每一個元素x,它都屬於它的鄰域,即我們構造了一個閉區間[a,M]的無限開覆蓋.由有限覆蓋定理,其中必存在有限個鄰域覆蓋整個區間.
在這有限個鄰域中取所有滿足x是A的上界（即條件(1)）的區間I[x],設這些區間的左端點（共有限個）的最小值為x0.顯然x0是A的一個上界.
考慮x0,顯然x0∈[a,M],但x0卻不屬於有限個區間中的任何一個.這是因為它既不屬於由條件(1)構造的I[x]（它比這些區間中的任何數都小）,也不屬於由條件(2)構造的I[x]（這些區間中所有的數都不是A的上界）.這就構成了矛盾!
對於下界及下確界的情況完全類似.
證畢.