可以證明:

實數所有有限/無限序列集與有理數的冪集等勢。

把實數列的數都寫成二進位制，每個數列用有理數的子集一一對應，第n個數對應分母為n的有理數，若是正數，則對應分子是奇數的有理數，第n個數中，若第m位是1，對應於該(2m+1)/n存在於此集合中。若第m位是0，對應於該(2m+1)/n不存在於此集合中。

對於出現負數，則對應於分子是偶數的有理數，第m位是1，對應於2m/n出現在此集合中。

比如數列(1/2，1/4，1/8，1/16)

寫成2進位制是(0.1，0.01，0.001，0.0001)

對應於有理數子集{-1/1，-3/2，-5/3，-7/4}

數列{-1，-2，-3，-4，-5，……}

寫成二進位制是{-1，-10，-11，-100，-101，……}

對應於{0/1，2/2，0/3，2/3，4/4，0/5，4/5，……}

數列{1，1/2，-2，-1/3，3，1/4，……}

寫成二進位制是{1，0.1，-10，-0.01010101……，11，0.01，……}

對應於{1/1，-1/2，2/3，-4/4，-8/4，-12/4，-16/4，……，1/5，3/5，-3/6，……}

於是可得有限/無限實數列與有理數冪集的一一對應。因為有理數與自然數是等勢的。

所以有限，無限實數列均與實數等勢。