一定要注意的一點：ZF公理系統中，集合的元素都是集合，自然數可用皮亞諾公理系統表示，如3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}。
ZF公理系統：
(ZF1）外延公理：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素，則它們是相等的。
(ZF2）空集合存在公理：即存在一集合s，它沒有元素。
(ZF3）無序對公理：也就是說，任給兩個集合x、y，存在第三個集合z，而當且僅當w=x或者w=y。
注：z = {x, y}, 就是說，如 w∈z, 則 w=x 或 w=y。又名配對公理，取義可由二個集合生成第三個集
合，集合無次序（或說生成的第三個集合無次序），所以叫無序（配）對公理，就一個，如果有次序
就變二個了。
(ZF4）並集公理：也就是說，任給一集合x，我們可以把x的元素的元素彙集到一起，組成一個新集合。
準確的定義：“對任意集合x，存在集合y，使w∈y當且僅當存在z使z∈x且w∈z”。
(ZF5）冪集公理：也就是說，任意的集合x，P（x）也是一集合。
準確的定義：“對任意集合x，存在集合y，使z∈y當且僅當對z的所有元素w，w∈x”。
(ZF6）無窮公理：也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。
準確的定義：“存在一個集合，使得空集是其元素，且對其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”
根據皮亞諾公理系統對自然數的描述，此即：存在一個包含所有自然數的集合。
(ZF7）替換公理模式：也就是說，對於任意的函式F（x），對於任意的集合t，當x屬於t時，F（x）都有定義（ZF中唯一的物件是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得對於所有的x屬於t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函式的定義域在t中的時候，那麼它的值域可限定在s中。
(ZF8）正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況。
準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”
注：（ZF3）可以由其他公理匯出，所以有些場合不出現這條公理，與之類似的是“子集公理”。
(AC)選擇公理：對任意集c存在以c為定義域的選擇函式g，使得對c的每個非空元集x，g(x）∈x。
ZF集合公理系統加上AC就成為ZFC公理系統。
注：ZF為Zermelo及Fraenkel
一定要注意的一點：ZF公理系統中，集合的元素都是集合，自然數可用皮亞諾公理系統表示，如3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}。
ZF公理系統：
(ZF1）外延公理：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素，則它們是相等的。
(ZF2）空集合存在公理：即存在一集合s，它沒有元素。
(ZF3）無序對公理：也就是說，任給兩個集合x、y，存在第三個集合z，而當且僅當w=x或者w=y。
注：z = {x, y}, 就是說，如 w∈z, 則 w=x 或 w=y。又名配對公理，取義可由二個集合生成第三個集
合，集合無次序（或說生成的第三個集合無次序），所以叫無序（配）對公理，就一個，如果有次序
就變二個了。
(ZF4）並集公理：也就是說，任給一集合x，我們可以把x的元素的元素彙集到一起，組成一個新集合。
準確的定義：“對任意集合x，存在集合y，使w∈y當且僅當存在z使z∈x且w∈z”。
(ZF5）冪集公理：也就是說，任意的集合x，P（x）也是一集合。
準確的定義：“對任意集合x，存在集合y，使z∈y當且僅當對z的所有元素w，w∈x”。
(ZF6）無窮公理：也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。
準確的定義：“存在一個集合，使得空集是其元素，且對其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”
根據皮亞諾公理系統對自然數的描述，此即：存在一個包含所有自然數的集合。
(ZF7）替換公理模式：也就是說，對於任意的函式F（x），對於任意的集合t，當x屬於t時，F（x）都有定義（ZF中唯一的物件是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得對於所有的x屬於t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函式的定義域在t中的時候，那麼它的值域可限定在s中。
(ZF8）正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況。
準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”
注：（ZF3）可以由其他公理匯出，所以有些場合不出現這條公理，與之類似的是“子集公理”。
(AC)選擇公理：對任意集c存在以c為定義域的選擇函式g，使得對c的每個非空元集x，g(x）∈x。
ZF集合公理系統加上AC就成為ZFC公理系統。
注：ZF為Zermelo及Fraenkel