這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯絡：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是複數，兩者是等距反同構。如下所述，（反）同構是特別自然的。設 H 是一個希爾伯特空間，令 H * 表示它的對偶空間，由從 H 到域 或 的所有連續線性泛函。如果 x 是 H 中一個元素，則函式 φx 定義為是 H * 的一個元素，這裡 表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言 H * 中任何元素都能惟一地寫成這種形式。定理：對映是一個等距（反）同構，這就是說：Φ 是雙射。x 的範數與 Φ(x) 的範數相等：。Φ 可加：Φ(x1 + x2) = Φ(x1) + Φ(x2)。如果底域是 ，則 Φ(λx) = λΦ(x) 對所有實數 λ。如果底域是 ，則 對所有複數 λ，這裡 表示 λ 的複共軛。Φ 的逆對映可以描述為： 給定 H * 中一個元素 φ，核 φ 的正交補是 H 的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素 z，令 。則 Φ(x) = φ。歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇（Fréchet）在1907年發現（見參考文獻）。格雷（Gray）在評論從他認為是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的發展時說：“給定運算 A[f]，可以構造有界變差函式 α(x)，使得無論連續函式f(x) 是什麼，都有 ”在量子力學的數學處理中，這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時，每個右括號 右一個相應的左括號 ，對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間，比如核空間（Nuclear space），里斯表示定理不成立，在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。
這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯絡：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是複數，兩者是等距反同構。如下所述，（反）同構是特別自然的。設 H 是一個希爾伯特空間，令 H * 表示它的對偶空間，由從 H 到域 或 的所有連續線性泛函。如果 x 是 H 中一個元素，則函式 φx 定義為是 H * 的一個元素，這裡 表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言 H * 中任何元素都能惟一地寫成這種形式。定理：對映是一個等距（反）同構，這就是說：Φ 是雙射。x 的範數與 Φ(x) 的範數相等：。Φ 可加：Φ(x1 + x2) = Φ(x1) + Φ(x2)。如果底域是 ，則 Φ(λx) = λΦ(x) 對所有實數 λ。如果底域是 ，則 對所有複數 λ，這裡 表示 λ 的複共軛。Φ 的逆對映可以描述為： 給定 H * 中一個元素 φ，核 φ 的正交補是 H 的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素 z，令 。則 Φ(x) = φ。歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇（Fréchet）在1907年發現（見參考文獻）。格雷（Gray）在評論從他認為是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的發展時說：“給定運算 A[f]，可以構造有界變差函式 α(x)，使得無論連續函式f(x) 是什麼，都有 ”在量子力學的數學處理中，這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時，每個右括號 右一個相應的左括號 ，對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間，比如核空間（Nuclear space），里斯表示定理不成立，在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。