定義 一般地,對於函式f(x) (1)如果對於函式定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函式f(x)就叫做奇函式。 (2)如果對於函式定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼函式f(x)就叫做偶函式。 (3)如果對於函式定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那麼函式f(x)既是奇函式又是偶函式,稱為既奇又偶函式。 (4)如果對於函式定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那麼函式f(x)既不是奇函式又不是偶函式,稱為非奇非偶函式。 說明:①奇、偶性是函式的整體性質,對整個定義域而言 ②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱,如果一個函式的定義域不關於原點對稱,則這個函式一定不是奇(或偶)函式。 (分析:判斷函式的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱,然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論) ③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義 2.奇偶函式影象的特徵: 定理 奇函式的影象關於原點成中心對稱圖形,偶函式的圖象關於y軸對稱。 f(x)為奇函式《==》f(x)的影象關於原點對稱 點(x,y)→(-x,-y) 奇函式在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上也是單調遞增。 偶函式 在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上單調遞減
定義 一般地,對於函式f(x) (1)如果對於函式定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函式f(x)就叫做奇函式。 (2)如果對於函式定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼函式f(x)就叫做偶函式。 (3)如果對於函式定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那麼函式f(x)既是奇函式又是偶函式,稱為既奇又偶函式。 (4)如果對於函式定義域內的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那麼函式f(x)既不是奇函式又不是偶函式,稱為非奇非偶函式。 說明:①奇、偶性是函式的整體性質,對整個定義域而言 ②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱,如果一個函式的定義域不關於原點對稱,則這個函式一定不是奇(或偶)函式。 (分析:判斷函式的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱,然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論) ③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義 2.奇偶函式影象的特徵: 定理 奇函式的影象關於原點成中心對稱圖形,偶函式的圖象關於y軸對稱。 f(x)為奇函式《==》f(x)的影象關於原點對稱 點(x,y)→(-x,-y) 奇函式在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上也是單調遞增。 偶函式 在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上單調遞減