不能滿足任何整係數多項方程式的複數叫作超越數。超越數的概念，首次出現在1748年出版的尤拉的著作《無窮分析引論》之中。他在該書第一卷第六章中，未加證明地斷言:“如果數b不是底a的冪，其對數就不再是一個無理數。事實上，如果有假如a,b都是有理數，這等式不能成立，因而對於這種不是底a的冪的數b，其對數應當恰如其分地命名為超越數。”歷史上第一個證明了超越數存在性的是法國數學家劉維爾(J.Liouville,1809~1882),他於1851年構造了一個數:這個無限小數後來被稱為“劉維爾數”。劉維爾成功地證明了這個數是一個超越數。既然複數集合中既包含代數數，又包含超越數，那麼它們各有多少呢?在“劉維爾數”構造出來之後二十多年，數學家康託證明了:所有代數數的集合是可數的，即代數數的個數與自然數一樣多!在此基礎上，康託根據他的集合論中的另外一個結論--實數集是不可數的，得知複數集也是不可數的，因而進一步得到一個結論:必定存在不是代數數的複數，因此超越數必定存在!這是關於超越數的存在性的第一個非構造性的證明，換句話說，康託並沒有構造出一個具體的超越數就證明了它們的存在!數學中的許多證明就是用非構造性的方法來實現的。劉維爾的方法則是構造性的方法，即實際地生成一個物件並給出證明。這兩種方法都是數學證明中的常用方法。一般情況下，我們考慮一個具體的物件比考慮一個抽象的物件要容易得多，但在數學中，有時卻恰恰相反:證明某個具體的數是超越數遠比非構造性地證明超越數的存在性更為困難和複雜。繼劉維爾之後，數學家們為了證明某些具體的數的超越性付出了種種努力:1873年，法國數學家埃爾米特(C.Hermite，1822~l901)證明了自然對數的底e=2.7182818……是超越數。1882年，德國數學數學家林德曼(Lindemann，1852~1939)證明了圓周率π=3.1415926……是超越數。1900年，國際數學家大會上提出的希爾伯特23個問題中的第十個就是關於超越數的問題。希爾伯特推測像這樣的數是超越數。1929年，有人證明了是超越數。1930年，也被證明是超越數。證明某些數是超越數有著重大的意義，比如說π的超越性的證明就徹底地解決了古希臘三大作圖問題中的化圓為方問題，即化圓為方是不可能的。判斷某些給定的數是否超越數實在是太困難了，為了獲得上述結果，一個多世紀以來，數學家們付出了艱苦的勞動。即便如此，這個領域仍舊迷霧重重。比如說，現在人們仍然無法斷定像e+π和這樣的數到底是代數數還是超越數。超越數與代數數有著明顯的不同，甚至連運演算法則也有區別。比如說，對於代數數成立的加法和乘法消去律，對於超越數來說就不成立。舉個例子，如果對三個超越數a，b，c有下式成立:a+b=a+c但b=c卻不一定成立。類似地，對於這三個數，如果下式成立:a×b=a×c但b=c也不一定成立。更加令人驚訝的是，根據康託的結論，代數數與超越數雖然都是無窮多個，但代數數是可數的而超越數是不可數的，換句話說，人們所知甚少的超越數的個數竟比代數數還要多得多!數學的確是一片浩瀚的海洋，即使是對“數”的自身的研究領域中，竟也蘊含著這許許多多的未知之謎等待著人們去探索其中的答案!
不能滿足任何整係數多項方程式的複數叫作超越數。超越數的概念，首次出現在1748年出版的尤拉的著作《無窮分析引論》之中。他在該書第一卷第六章中，未加證明地斷言:“如果數b不是底a的冪，其對數就不再是一個無理數。事實上，如果有假如a,b都是有理數，這等式不能成立，因而對於這種不是底a的冪的數b，其對數應當恰如其分地命名為超越數。”歷史上第一個證明了超越數存在性的是法國數學家劉維爾(J.Liouville,1809~1882),他於1851年構造了一個數:這個無限小數後來被稱為“劉維爾數”。劉維爾成功地證明了這個數是一個超越數。既然複數集合中既包含代數數，又包含超越數，那麼它們各有多少呢?在“劉維爾數”構造出來之後二十多年，數學家康託證明了:所有代數數的集合是可數的，即代數數的個數與自然數一樣多!在此基礎上，康託根據他的集合論中的另外一個結論--實數集是不可數的，得知複數集也是不可數的，因而進一步得到一個結論:必定存在不是代數數的複數，因此超越數必定存在!這是關於超越數的存在性的第一個非構造性的證明，換句話說，康託並沒有構造出一個具體的超越數就證明了它們的存在!數學中的許多證明就是用非構造性的方法來實現的。劉維爾的方法則是構造性的方法，即實際地生成一個物件並給出證明。這兩種方法都是數學證明中的常用方法。一般情況下，我們考慮一個具體的物件比考慮一個抽象的物件要容易得多，但在數學中，有時卻恰恰相反:證明某個具體的數是超越數遠比非構造性地證明超越數的存在性更為困難和複雜。繼劉維爾之後，數學家們為了證明某些具體的數的超越性付出了種種努力:1873年，法國數學家埃爾米特(C.Hermite，1822~l901)證明了自然對數的底e=2.7182818……是超越數。1882年，德國數學數學家林德曼(Lindemann，1852~1939)證明了圓周率π=3.1415926……是超越數。1900年，國際數學家大會上提出的希爾伯特23個問題中的第十個就是關於超越數的問題。希爾伯特推測像這樣的數是超越數。1929年，有人證明了是超越數。1930年，也被證明是超越數。證明某些數是超越數有著重大的意義，比如說π的超越性的證明就徹底地解決了古希臘三大作圖問題中的化圓為方問題，即化圓為方是不可能的。判斷某些給定的數是否超越數實在是太困難了，為了獲得上述結果，一個多世紀以來，數學家們付出了艱苦的勞動。即便如此，這個領域仍舊迷霧重重。比如說，現在人們仍然無法斷定像e+π和這樣的數到底是代數數還是超越數。超越數與代數數有著明顯的不同，甚至連運演算法則也有區別。比如說，對於代數數成立的加法和乘法消去律，對於超越數來說就不成立。舉個例子，如果對三個超越數a，b，c有下式成立:a+b=a+c但b=c卻不一定成立。類似地，對於這三個數，如果下式成立:a×b=a×c但b=c也不一定成立。更加令人驚訝的是，根據康託的結論，代數數與超越數雖然都是無窮多個，但代數數是可數的而超越數是不可數的，換句話說，人們所知甚少的超越數的個數竟比代數數還要多得多!數學的確是一片浩瀚的海洋，即使是對“數”的自身的研究領域中，竟也蘊含著這許許多多的未知之謎等待著人們去探索其中的答案!