本文我們將直接給出一些三角形的面積公式，然後再給出他們的證明。

公式二十一：

或者寫成：。

證明：由正弦定理a=2RsinA，b= 2RsinB，c=2RsinC，所以，，，並將公式三和餘弦定理帶入上式，有：

證畢。

將正弦定理應用到公式二十一消去a，b，c，則有：

即：

記為公式二十二。

對比公式四，可以得到：，這是三角形中一個關於三個內角的等式。

公式二十三：

公式二十四：

上面兩個公式只是a、b、c、p的簡單變形，因此是等價的，置換a，b，c即有另外兩個公式。由公式十四，和海倫公式直接可推證。

公式二十五：

證明：

由公式十一，將旁切圓半徑全部換掉，有：

所以：

證畢。

公式二十六：

證明：

由《三角形的面積公式二敘》中的半形公式，

，，。

於是：

（這個便是下面的公式二十七）

（由公式十一換掉）

（分子分母消去一個p-c，同時再乘以一個p）

（利用和海倫公式消去得到）

證畢。

公式二十七：

置換a、b、c可以有另外兩個式子，證明方法見公式二十六的證明。

公式二十八：

證明：

由於公式二十八三個式子是等價的，故只需證明其中之一即可。

證畢。

公式二十九：

證明：將正弦定理帶入上式，消去a，b，c，有：

又因為公式四，故只需證：

只需證：

上式右邊

（三角形內角和A+B+C=180度可得）

證畢。公式三十：

公式三十一：

公式三十和公式三十一表明瞭三角形三個內角之間的另外一個等式：。我們在此先證明一下此式的成立。

所以

也就是

即。

因此，公式三十和公式三十一隻需證明其一。

證明：

若要證（帶入正弦定理換掉a，b，c）

同時因為有公式四：，所以只需要證：

即：

將上式中的“2”寫成，並消去正弦值，利用了三角函式的公式，那麼只需要證明：

。

此式是一個十分常用的三角形內角的公式，由於公式中只有餘弦函式，因此我們稱它為三角形內角的餘弦等式。

下面來證明這個式子，主要使用正弦定理和餘弦定理。

由余弦定理：

將正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC帶入餘弦定理中得：

即：

所以：

移項便是餘弦等式。

證畢。

公式三十二：

置換元素b，c有另外兩個式子。

證明：

（公式十一的變形）

（海倫公式和公式五）

證畢。

總結：本文中的公式都可以透過前面的基本公式和正餘弦定理和三角函式的變換得到，特別提醒，在三角形中，變換三角函式時，用上內角和等於180度，往往可以輕鬆得到答案。