設圓心角為α1，α2，α3，和為2π則三角形面積是S=1/2(R1R2sinα3+R2R3sinα1+R3R1sinα2)對α1和α2求導1/2R2R3cosα1-1/2R1R2cosα3=01/2R3R1cosα2-1/2R1R2cosα3=0R3cosα1=R1cosα3R3cosα2=R2cosα3即cosα1/R1=cosα2/R2=cosα3/R3注意到如果三個角的cos值均大於零，則和至多為3π/2故三個角都是鈍角令上式=k，和差化積kR3=kR1*kR2-sqrt(1-k^2R1^2)sqrt(1-k^2R2^2)sqrt(1-k^2R1^2)sqrt(1-k^2R2^2)=k^2R1R2-kR3(1-k^2R1^2)(1-k^2R2^2)=(k^2R1R2-kR3)^21-k^2R1^2-k^2R2^2+k^4R1^2R2^2=k^4R1^2R2^2-2k^3R1R2R3+k^2R3^22R1R2R3 * k^3 - (R1^2+R2^2+R3^2) k^2 + 1 = 0注意到k趨於負無窮時左式為負無窮，k=0時為1，所以必有負解。求導得6R1R2R3k^2-2(R1^2+R2^2+R3^2)k=0k1=0 k2=(R1^2+R2^2+R3^2)/3R1R2R3，0是極大值，故負解唯一。以上是n=3的情況。update:某一位匿名使用者的回答很贊啊，用調整法，則O到一點的半徑一定垂直於相鄰兩條半徑的末端的連線：1. 在三角形的情況下O一定是垂心。2. 在四邊形的情況下四個內角都是90度，所以四邊形面積最大值是1/2(R1+R4)(R2+R3)。n>=5待更
設圓心角為α1，α2，α3，和為2π則三角形面積是S=1/2(R1R2sinα3+R2R3sinα1+R3R1sinα2)對α1和α2求導1/2R2R3cosα1-1/2R1R2cosα3=01/2R3R1cosα2-1/2R1R2cosα3=0R3cosα1=R1cosα3R3cosα2=R2cosα3即cosα1/R1=cosα2/R2=cosα3/R3注意到如果三個角的cos值均大於零，則和至多為3π/2故三個角都是鈍角令上式=k，和差化積kR3=kR1*kR2-sqrt(1-k^2R1^2)sqrt(1-k^2R2^2)sqrt(1-k^2R1^2)sqrt(1-k^2R2^2)=k^2R1R2-kR3(1-k^2R1^2)(1-k^2R2^2)=(k^2R1R2-kR3)^21-k^2R1^2-k^2R2^2+k^4R1^2R2^2=k^4R1^2R2^2-2k^3R1R2R3+k^2R3^22R1R2R3 * k^3 - (R1^2+R2^2+R3^2) k^2 + 1 = 0注意到k趨於負無窮時左式為負無窮，k=0時為1，所以必有負解。求導得6R1R2R3k^2-2(R1^2+R2^2+R3^2)k=0k1=0 k2=(R1^2+R2^2+R3^2)/3R1R2R3，0是極大值，故負解唯一。以上是n=3的情況。update:某一位匿名使用者的回答很贊啊，用調整法，則O到一點的半徑一定垂直於相鄰兩條半徑的末端的連線：1. 在三角形的情況下O一定是垂心。2. 在四邊形的情況下四個內角都是90度，所以四邊形面積最大值是1/2(R1+R4)(R2+R3)。n>=5待更