其實就是用變限積分求導公式，由於0到根號y上積分arctan[cos(3x+5根號)]dx實際上是y的函式，不妨令成f(y)，根據變限積分求導公式，0到t²上積分f(y)dy的導數是2tf(t²)，於是第一行二重積分對t求導得到的式子含因式2t；

由於f(y)是0到根號y上積分arctan[cos(3x+5根號)]dx，f(t²)實際上就是把所有的y換成t²，得到第二行，由極限號，t＞0，開方得第三行；

二重積分是二元函式在空間上的積分，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。

同定積分類似。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。

設二元函式z=f（x，y）定義在有界閉區域D上，將區域D任意分成n個子域

，並以

表示第

個子域的面積。在

上任取一點

作和

。如果當各個子域的直徑中的最大值

趨於零時，此和式的極限存在，且該極限值與區域D的分法及

的取法無關，則稱此極限為函式

在區域

上的二重積分，記為

，即

。

這時，稱

在

上可積，其中

稱被積函式，

稱為被積表示式，

稱為面積元素，

稱為積分割槽域，

稱為二重積分號。

同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。