對於“平行”這個概念的直觀定義，除了題主所說的“距離處處相等”和“不相交”以外，還可以是“一個圖形由另一個圖形平移得來”。對於二維平面上的兩條直線，以及三維空間中的兩個平面，這三個定義是等價的（忽略“重合”的特殊情況），所以也就看不出來哪個更本質。不過我們可以想一下“平行”這個詞用於形容其它圖形的情況。比如，三維空間中的兩條直線，“不相交”並不一定就平行，於是我們發現，“不相交”這個條件太鬆了。在生活中，我們有時候也會說兩條曲線“平行”。在給出嚴格定義之前，我們先來看下面兩組圖形：左邊的紅、綠兩條曲線，是兩段同心但半徑不相等的90度圓弧；右邊的紅、綠兩條曲線，是兩段半徑相等但不同心的90度圓弧，一者可以由另一者“平移”得來。一般人的直覺會覺得，左邊的兩段圓弧是“平行”的，而右邊的兩段圓弧不“平行”，因為紅色圓弧的上端離綠色圓弧太近了。這說明，“距離處處相等”，才是人們心目中最樸素、最本質的“平行”的概念。當然，“距離處處相等”這個定義，是需要嚴格化的。數學上可以這麼定義“平行曲線”：從已知曲線上各點出發，沿曲線上該點處某一側的法向量移動定長，移動後的點組成的曲線稱為已知曲線的平行曲線。詳見Parallel Curves -- from Wolfram MathWorld。下面是一些例圖，黑色曲線是紅色曲線的平行曲線。可以看到，大多數的平行曲線是符合直覺的，但也有一些平行曲線出現了謎之尖角。