涉及到一個微分方程基本定理，在這裡我們用到的部分可以這麼描述：如果y滿足一個n階線性齊次微分方程，則根據任意的 ，可以唯一確定一個微分方程的解。它的嚴格證明比較麻煩，但可以簡單理解一下：假定存在兩個解y1和y2，考慮y1-y2，則它也是方程的解，而且各階導數都為0，按方程它的n階導數也為0，按導數推演這應該是一個恆為0的函式（這裡其實需要嚴格證明，但思路是這樣），那麼應該有y1 - y2 = 0，因此解是唯一的。

這意味著只要給定一個n階向量，就可以唯一確定一個解；反過來，任意一個解也都可以對應到一個n階向量。這意味著解空間（顯然是一個線性空間）維數不超過n。

接下來就是存在性的問題，這個應該所有的微分方程數上都介紹過特徵根法，就不再詳細介紹了。

n階線性齊次微分方程，實際上是n階線性齊次微分方程組的一個特例，通常方程組可以寫作

其中y是一個n階函式構成的向量，而A是n * n的矩陣。顯然對於n階線性齊次微分方程來說，只需要令

就可以改寫為線性方程組的形式，A的最後一行是原方程的係數，上面的每行則只有一個1，在對應位置上。

對於n階線性齊次微分方程組來說有類似的基本定理，即 （這是一個n階向量）可以唯一確定y。因此，任意n階線性齊次微分方程組實際上都有n個線性無關的特解，而n階方程只是一個特例。

特解同樣可以透過特徵根法求（令 ，C是一個向量，轉化為求矩陣特徵值的問題）

也可以用拉普拉斯變換簡單粗暴得到這個結論：

所謂特徵根，在拉普拉斯變換下，其實是滿足

的Y，不難看出，這實際上就是求矩陣特徵值和特徵向量，特徵值是 的根，對於根 ，如果特徵向量是 ，則 正好就是一個解（因為在 時因為特徵向量的特性符合方程，在 時因為 符合方程）。

我們可以看到線性代數和線性微分方程組理論之間有密不可分的關係，也更容易理解為什麼線性微分方程組裡的特徵值和線性代數里的特徵值是同一個名字了吧。

總結來說：

線性微分方程（組）的解可以由初值唯一確定（存在且唯一）n階線性微分方程（組）的初值是n維的因此，解空間也是n維的

或者用線性代數語言描述：

線性微分方程（組）的解和初值都構成線性空間線性微分方程（組）的解和初值之間形成一個可逆的線性對映n階線性微分方程（組）的初值是n維線性空間因此，解空間也是n維的