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  • 1 # IsMillion

    羅爾定理:如果函式f(x)滿足:   在閉區間[a,b]上連續;   在開區間(a,b)內可導;   其中a不等於b;   在區間端點處的函式值相等,即f(a)=f(b),   那麼在區間(a,b)內至少存在一點ξ(a<ξ<b),使得f"(ξ)=0.   羅爾定理的三個已知條件的直觀意義是:f(x)在[a,b]上連續表明曲線連同端點在內是無縫隙的曲線;f(x)在內(a,b)可導表明曲線y=f(x)在每一點處有切線存在;f(a)=f(b)表明曲線的割線(直線AB)平行於x軸.羅爾定理的結論的直觀意義是:在(a,b)內至少能找到一點ξ,使f"(ξ)=0,表明曲線上至少有一點的切線斜率為0,從而切線平行於割線AB,也就平行於x軸. 拉格朗日中值定理:若函式f(x)在區間[a,b]滿足以下條件:   (1)在[a,b]連續   (2)在(a,b)可導   則在(a,b)中至少存在一點c使f"(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)柯西中值定理:如果函式f(x)及f(x)滿足:(1)在閉區間[a,b]上連續;(2)在開區間(a,b)內可導;(3)對任一x∈(a,b),f"(x)≠0,那麼在(a,b)內至少有一點ζ,使等式[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f"(ζ)/f"(ζ)成立。柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學基本定理即牛頓-萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶餘項的泰勒公式,還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積,推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。

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